Luận văn Hàm RBF và một số ứng dụng trong đồ họa máy tính
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
Trần Đức Thụ
HÀM RBF VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH
Chuyên nghành: Khoa học máy tính
Mã số: 60.48.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Đặng Quang Á
Thái Nguyên 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT:
IMQ: Inverse Multi Quadric
MQ: Multi Quadric
RBF: Radian Basic Function
DANH MỤC BẢNG
11
26
Bảng 1.1: Sai số nội suy hàm Frank với = 3
Bảng 2.1 : So sánh phƣơng pháp trực tiếp và phƣơng pháp nhanh
Bảng 2.2: So sánh việc khớp hàm RBF và thời gian tính toán trên máy
tính PIII tốc độ 550MHz Ram 512
33
36
Bảng 2.3: So sánh yêu cầu lƣu trữ của việc nội suy bằng RBF và các
lƣới đƣợc suy ra
DANH MỤC HÌNH VẼ
15
18
18
20
25
25
28
31
31
32
34
35
35
40
Hình 2.1: Khớp hàm RBF và phục hồi lƣới bằng RBF
Hình 2.2: Mô tả các điểm ngoài bề mặt
Hình 2.3: Khôi phục một bàn tay
Hình 2.4: Mặt cắt qua các ngón tay
Hình 2.5: Phƣơng pháp điều chỉnh nhanh
Hình 2.6: Thuật toán tham lam cho việc khớp RBF
Hình 2.7: Rút gọn tâm
Hình 2.8: Xấp xỉ dữ liệu LIDAR
Hình 2.9: Mức làm trơn
Hình 2.10: Gia công đẳng mặt
Hình 2.11: Lấp lỗ và ngoại suy bề mặt
Hình 2.12: Biểu diễn các đối tƣợng phức tạp
Hình 2.13: Khôi phục hành tinh Eros
Hình 3.1: Dữ liệu 3D tải vào
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
43
44
45
Hình 3.2: Lƣới thu đƣợc sau khi đổi trật tự mảng giá trị và các đối số
Hình 3.3: Bề mặt đƣa vào
Hình 3.4: Bề mặt với các đƣờng pháp tuyến
Hình 3.5: Bề mặt với các đƣờng pháp tuyến có đô dài < 0,5mm bị loại
bỏ
46
48
49
50
51
52
Hình 3.6: Bề mặt sau khi khớp không có sự rút gọn tâm
Hình 3.7: Bề mặt sau khi khớp có sự rút gọn tâm
Hình 3.8: Tính giá trị bề mặt trên lƣới 3D
Hình 3.9: Lƣới mới đƣợc sinh ra
Hình 3.10: Lƣới đa giác đƣợc sinh ra
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
1
3
3
3
5
6
6
7
Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm cơ sở bán kính (RBF)
1.1.1. Nội suy dữ liệu rời rạc
1.1.2. Ma trận và hàm xác định dƣơng
1.1.3. Hàm cơ sở bán kính
1.1.4. Hàm xác định dƣơng và đơn điệu hoàn toàn
1.1.5. Nội suy với độ chính xác đa thức và hàm xác định dƣơng có điều
kiện
1.1.6. Ví dụ nội suy bằng RBF
10
11
1.2. Bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tƣợng 3D
Chƣơng 2: NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG HÀM RBF VÀO CÁC
14
BÀI TOÁN KHÔI PHỤC VÀ BIỂU DIỄN CÁC ĐỐI TƢỢNG 3D
2.1. Các bề mặt ẩn
15
16
23
26
27
29
30
32
37
2.2. Khớp một hàm ẩn vào bề mặt
2.3. Nội suy hàm cơ sở bán kính
2.4. Các phƣơng pháp nhanh
2.5. Rút gọn tâm
2.6. Xấp xỉ dữ liệu nhiễu bằng RBF
2.7. Tính toán bề mặt
2.8. Các kết quả
2.9. Kết luận
Chƣơng 3: KHAI THÁC PHẦN MỀM FASTRBF
3.1. Phần mềm FastRBF làm gì
38
38
38
38
3.2. Ai có thể sử dụng phần mềm FastRBF
3.3. Những lợi ích của phần mềm FastRBF
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3.4.Các ứng dụng
39
39
39
41
42
43
43
51
53
54
3.5. Các kết quả đạt đƣợc khi sử dụng phần mềm FastRBF
3.5.1. Khớp và tính toán dữ liệu 3D
3.5.1.1. Rút gọn tâm RBF
3.5.1.2. Tính toán lƣới 3D
3.5.2. Khớp dữ liệu bề mặt 3D
3.5.2.1. Khớp bề mặt vào dữ liệu lƣới
3.5.2.2. Gia công đẳng mặt
3.6. Kết luận
KẾT LUẬN
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
MỞ ĐẦU
Ngày nay với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin, con ngƣời
đã ứng dụng những thành tựu của nó trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau. Máy
tính đã trở thành một công cụ hỗ trợ đắc lực cho con ngƣời trong việc xử lý
dữ liệu một cách nhanh chóng và chính xác.
Đồ họa máy tính là một lĩnh vực của khoa học máy tính nghiên cứu các
phƣơng pháp và kỹ thuật biểu diễn và thao tác các dữ liệu số hóa của các vật
thể trong thực tế. Lĩnh vực này đƣợc phát triển dựa trên nền tảng của hình học
họa hình, hình học tính toán, hình học vi phân cùng nhiều kiến thức toán học
của đại số và giải tích, cũng nhƣ các thành tựu của phần cứng máy tính.
Thuật ngữ "đồ họa máy tính" (computer graphics) đƣợc đề xuất bởi một
buồng lái để xây dựng nên mô hình buồng lái tối ƣu cho máy bay Boeing.
Đây là phƣơng pháp nghiên cứu rất mới vào thời kỳ đó.
Trong đồ họa máy tính bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tƣợng 3D
là một trong các bài toán cơ bản. Công cụ quan trọng để giải quyết bài toán
này là lý thuyết nội suy hàm số nhiều biến. Để nội suy hàm số từ một tập
điểm đã biết thông thƣờng ngƣời ta sử dụng các hàm ghép trơn (spline) và
các biến dạng của nó. Từ khoảng hai chục năm nay ngƣời ta đã và đang phát
triển một kỹ thuật nội suy mới có độ chính xác cao. Đó là nội suy bởi hàm cơ
sở bán kính (radial basis functions) viết tắt là RBF. Phƣơng pháp nội suy này
đã đƣợc sử dụng trong nhiều lĩnh vực của CNTT nhƣ xử lý tín hiệu, xử lý ảnh
và lý thuyết điều khiển. Một số phần mềm về hàm RBF và các ứng dụng cũng
đã đƣợc phát triển.
Luận văn gồm có ba chƣơng:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
Chƣơng 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm RBF. Những tính
chất của hàm RBF đƣợc áp dụng cho bài toán nội suy dữ liệu rời rạc. Đây là
những kiến thức cơ sở rất quan trọng. Tìm hiểu về bài toán khôi phục và biểu
diễn các đối tƣợng 3D.
Chƣơng 2: Nghiên cứu ứng dụng hàm RBF vào bài toán khôi phục và biểu
diễn các đối tƣợng 3D
Chƣơng 3: Tiến hành khai thác phần mềm FASTRBF.
Em xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo PGS.TS. Đặng Quang
Á đã tận tình hƣớng dẫn em hoàn thành luận văn này. Em cũng xin chân
thành cảm ơn các thầy cô giáo, bạn bè, đồng nghiệp, Khoa Công nghệ
Thông tin – Đại học Thái Nguyên và Trƣờng Cao đẳng Công nghiệp Việt
Đức (Thái Nguyên) đã động viên, giúp đỡ em trong quá trình học tập và
nghiên cứu.
Thái Nguyên, ngày 30 tháng 10 năm 2009
TÁC GIẢ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chƣơng này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về hàm cơ sở
bán kính (RBF), bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tƣợng 3D.
1.1. Hàm cơ sở bán kính (RBF):
1.1.1 Nội suy dữ liệu rời rạc:
Trong nhiều vấn đề khoa học kỹ thuật cần giải bài toán: Cho tập dữ
liệu (gồm các kết quả đo đạc và vị trí thu đƣợc những kết quả đó), yêu cầu
tìm một quy tắc cho phép suy diễn thông tin từ những kết quả đã có. Vì
vậy ta mong muốn tìm một hàm “đủ tốt” phù hợp với tập dữ liệu đã có. Có
nhiều cách để quyết định thế nào là tốt và một trong các tiêu chuẩn là
muốn hàm xấp xỉ có giá trị chính xác với những kết quả đo đạc đƣợc tại
những vị trí đã cho – Đáp ứng tiêu chuẩn này gọi là bài toán nội suy. Và
nếu những vị trí mà đã cho kết quả đo đạc không nằm trên một lƣới chuẩn
thì tiến trình trên gọi là nội suy dữ liệu rời rạc. Chính xác hơn ta có:
Bài toán 1.1 Cho tập dữ liệu
một hàm (liên tục) Pf thỏa mãn:
xj yj , j=1,…,n
xj , yj
,
với xj Rs, yj R. Tìm
j 1,...,n
P
(1.1)
f
Ý tƣởng chung để giải quyết bài toán nội suy là tìm hàm Pf dƣới dạng
n
Bk
tổ hợp tuyến tính của hệ hàm cơ sở
k1 , nghĩa là:
n
Pf
x
c Bk
x
, x Rs
(1.2)
k
k1
Từ đó, thay điều kiện (1.1) dẫn đến việc giải hệ phƣơng trình đại số
n
ck
tuyến tính để xác định các hệ số
:
k1
(1.3)
Ac y
T
T
c
c1,..., cn
y
y1,..., yn
Trong đó Ajk Bk xj
;
j,k 1,..., n
;
;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Bài toán 1.1 sẽ đƣợc đặt đúng, nghĩa là tồn tại và duy nhất nghiệm, khi
và chỉ khi ma trận A không suy biến.
Trong trƣờng hợp một chiều, ta luôn xây dựng đƣợc đa thức nội suy
bậc n – 1 cho n điểm nội suy phân biệt tùy ý. Tuy nhiên khi s ≥ 2, ta có kết
quả phủ định sau:
Định lý 1.1 (Mairhuber-Curtis) Nếu Rs, s ≥ 2 chứa một điểm trong
thì trong không tồn tại không gian Haar các hàm liên tục, trừ trường
hợp không gian một chiều.
Trong đó, không gian Haar đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
Định nghĩa 1.1 Cho không gian hàm tuyến tính hữu hạn chiều B C().
B1, B2 ,..., Bn
Gọi
Haar trên nếu det
Ở đây ma trận A là ma trận được xây dựng bởi Aj,k Bk
là một cơ sở của B. Khi đó B được gọi là không gian
x1, x2 ,..., xn
A
0 với mọi tập các điểm phân biệt
.
xj
;
.
j,k 1,..., n
Sự tồn tại của không gian Haar đảm bảo tính khả nghịch của ma trận
nội suy, nghĩa là tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán nội suy 1.1. Không
gian các đa thức một biến bậc
chính là không gian Haar n chiều với
n1
tập dữ liệu
xj , yj
,
,
j 1,...,n
xj R, yj R. Cơ sở chính tắc của không
gian này là
B 1,B2 x,B3 x2,..., Bn xn1
.
1
Định lý trên cho thấy, để giải quyết bài toán nội suy dữ liệu rời rạc
trong không gian nhiều chiều chúng ta không thể xây dựng trƣớc tập các
hàm cơ sở không phụ thuộc dữ liệu. Để giải quyết vấn đề không suy biến
của ma trận A, ta cần một phƣơng pháp khác để xây dựng hàm nội suy.
Thay vì sử dụng biểu diễn tuyến tính thông qua một hệ hàm cơ sở không
phụ thuộc dữ liệu, ta biểu diễn tuyến tính thông qua một hàm đơn phụ
thuộc dữ liệu đã cho, có tính khoảng cách, đối xứng với tâm nào đó của dữ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
liệu tƣơng ứng. Phƣơng pháp này đƣợc đề xuất bởi R.L Hardy năm 1971
và đƣợc gọi là phƣơng pháp hàm cở sở bán kính.
1.1.2 Ma trận và hàm xác định dƣơng:
Định nghĩa 1.2 Ma trận giá trị thực, đối xứng A được gọi là nửa xác định
dương nếu dạng toàn phương tương ứng là không âm:
n
n
c c A 0
(1.4)
j
k
jk
j1 k1
Rn. Nếu dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi
c
T
0,...,0 T
với c
c1,..., cn
thì ma trận A được gọi là xác định dương.
Tính chất quan trọng của ma trận xác định dƣơng là nó có tất cả các giá
trị riêng đều dƣơng và không suy biến.
n
Nếu hệ hàm cơ sở
Bk
trong khai triển (1.2) làm cho ma trận nội suy
k1
xác định dƣơng thì bài toán nội suy đƣợc đặt đúng. Hàm xác định dƣơng
đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
Định nghĩa 1.3 Hàm liên tục : Rs
R là xác định đương khi và chỉ khi
nó là hàm chẵn và thỏa mãn:
n
n
c c x x 0
(1.5)
j
k
j
k
j1 k1
s
n
T
x1,..., xn
c
c1,..., cn
với mọi n điểm đôi một khác nhau
Hàm
và chỉ khi c
Từ định nghĩa 1.3 và tính chất của ma trận xác định dƣơng ta thấy, có
R và
R .
gọi là xác định dương chặt nếu dấu bằng của (1.5) xảy ra khi
0,...,0 T
.
Bk
x xk
thể sử dụng các hàm xác định dƣơng chặt
làm hệ hàm cơ sở,
và khi đó ta có:
n
Pf
x
c
x xk
(1.6)
k
k1
Ma trận nội suy trở thành:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
;
(1.7)
Ajk Bk xj xj xk
j,k 1,..., n
Tuy nhiên giải bài toán nội suy sẽ trở nên khó khăn trong không gian
nhiều chiều. Do đó, thay vì sử dụng hàm đa biến (độ phức tạp sẽ tăng
x
lên theo số chiều), chỉ làm việc với hàm một biến cho tất cả số chiều s.
1.1.3 Hàm cơ sở bán kính:
Định nghĩa 1.4 Hàm : Rs R được gọi là hàm bán kính nếu tồn tại hàm
một biến : [0,+) R thỏa mãn:
x
r
(1.8)
Với r x và
.
là một chuẩn nào đó trong Rs (thường dùng chuẩn
Euclidean). Hàm tương ứng gọi là hàm cơ sở bán kính. Ta nói hàm là
xác định dương (chặt) khi và chỉ khi hàm là xác định dương (chặt).
1.1.4 Hàm xác định dƣơng và đơn điệu hoàn toàn:
Trong phần này trình bày kết quả quan trọng xây dựng một số hàm bán
kính thỏa mãn tính khả nghịch của ma trận nội suy tƣơng ứng, dựa trên
tính chất của hàm đơn điệu hoàn toàn.
C
R0
Định nghĩa 1.5 Hàm
được gọi là đơn điệu hoàn toàn khi và
chỉ khi
1 l
l
t
0
(1.9)
với mọi
với mọi t.
l 0,1,...,
Việc xây dựng hàm bán kính xác định dƣơng thông qua hàm đơn điệu
hoàn toàn dựa vào kết quả sau, đƣợc đƣa ra bởi Schoenberg năm 1938.
Định lý 1.2 Cho : R+ R là hàm liên tục đơn điệu hoàn toàn. Khi đó
Rs, hàm
x1, x2 ,..., xn
với mọi tập điểm hữu hạn phân biệt từng đôi một
x
r2
r x
là hàm xác định dương.
bán kính
,
Ví dụ 1.1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Xét hàm (t) = e–t với ≥ 0. Ta có: (– 1)l(l)(t) = ()l e–t > 0. Suy ra
r2
hàm này là đơn điệu hoàn toàn. Do đó hàm Gaussian (GA) (r)=e– có
thể sử dụng làm hàm cơ sở bán kính đảm bảo tính xác định dƣơng của ma
trận nội suy.
Tƣơng tự, hàm (t) = (t + 2) , , > 0 cũng là hàm đơn điệu hoàn
toàn. Hàm cơ sở bán kính (r) = (r2 + 2) , , > 0 đƣợc gọi là hàm
Inverse Multiquadric (IMQ)
Theo định nghĩa hàm đơn điệu hoàn toàn, ta có (t) ≥ 0, (t) 0, …
Tuy nhiên nếu có
đơn điệu hoàn toàn ( (t) ≥ 0, (t) 0, …) ta vẫn có
thể sử dụng đƣợc hàm đảm bảo ma trận không suy biến.
Định lý 1.3 Cho C[0,+) là hàm thỏa mãn
đơn điệu hoàn
toàn, khác hằng số. Giả sử thêm rằng (0) ≥ 0. Khi đó ma trận nội suy
không suy biến với (x) = (||x||) = (r2).
Trong trƣờng hợp tổng quát, nếu với giả thiết yếu hơn về tính đơn điệu
hoàn toàn của , nghĩa là (k), k ≥ 1 là hàm đơn điệu hoàn toàn thì cần các
điều kiện nào để sử dụng đƣợc (theo định nghĩa ma trận nội suy tƣơng
ứng không suy biến)?. Vấn đề này đã đƣợc Micchelli (1986) nghiên cứu và
đƣa ra những kết quả quan trọng về hàm xác định dƣơng có điều kiện.
1.1.5 Nội suy với độ chính xác đa thức và hàm xác định dƣơng có điều
kiện:
Định nghĩa 1.6 Hàm : Rs R được gọi là xác định dương có điều kiện
n
n
bậc m nếu
cjck(xj – xk) ≥ 0 c Rn thỏa mãn:
j1
k1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
n
cjp(xj)=0, pP ms 1 (đa thức thuộc không gian các đa thức s biến có bậc
j1
m – 1). Nếu đẳng thức chỉ xảy ra với c = 0 thì gọi là xác định dương
chặt có điều kiện.
Điều quan trọng là có thể sử dụng hàm xác định dƣơng có điều kiện bậc
m để nội suy nếu ta cộng vào biểu thức (1.6) một đa thức đa biến bậc
m1
triệt tiêu trên tập dữ liệu đã cho. Cụ thể, hàm nội suy với độ chính
xác đa thức đƣợc cho dƣới dạng:
n
Pf
x
c
x xj
p
x
j
j1
(1.10)
n
c x 0, m
j
j
j1
8
với các ký hiệu đa chỉ số: N8 , || =
i, và x = x11 .x2 2 ..xs s .
0
i1
Khi thay điều kiện nội suy ta đƣợc hệ phƣơng trình Ac = y. Để xác định
n
hệ số của p(x) ta sử dụng các điều kiện cjxj = 0, || < m
(1.11)
j1
Ví dụ 1.2
Xây dựng hàm nội suy trong không gian 2 chiều với tập dữ liệu cho
trƣớc {(xj,yj), f(xj,yj)} nj1 , sử dụng hàm xác định dƣơng có điều kiện bậc 2 ta
đƣợc:
n
Pf(x,y) =
cj((x,y) – (xj,yj)) + p(x,y),
(1.12)
j1
trong đó p(x,y) là đa thức hai biến bậc 1 triệt tiêu tại các điểm nội suy,
p
x, y a1 a2 x a3 y
(1.13)
Cho (1.12) thỏa điều kiện nội suy đƣợc hệ:
n
c x , y x , y f xk , yk
;
k = 1, 2, …,n
j
k
k
j
j
j1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Để xác định các hệ số a1,a2,a3 sử dụng (1.11), đƣợc thêm ba điều kiện
sau:
n
cj = 0
j1
n
cjxj = 0
cjyj = 0
j1
n
j1
Vậy ta đƣợc hệ n + 3 phƣơng trình n + 3 ẩn. Từ đó có thể tìm đƣợc Pf(x,y).
Trong trƣờng hợp tổng quát, bài toán (1.10) sẽ dẫn tới hệ đại số tuyến
tính sau:
A
PT
P
c
y
.
=
(1.14)
0
d
0
Trong đó:
n
A = xk xj
; P = xj , j = 1, 2, …, n; d là ma trận các hệ số của p(x)
k, j1
Việc xây dựng cấu trúc cụ thể của các hàm bán kính xác định dƣơng có
điều kiện (x) = (r) dựa trên định lý:
dk
r
1 k
drk
Định lý 1.4 Cho là hàm liên tục và thỏa mãn
, r 0 là hàm
đơn điệu hoàn toàn khác hằng số. Khi đó, hàm (x) = (||x||) = (r2) là hàm
xác định dương chặt bậc k.
Ví dụ 1.3
2
1. Hàm (r) = (– 1) (r + ) , > 0, > 0, N thỏa mãn:
k . Vì vậy:
k
r
1
1
...
k 1
r 2
1
r
1
...
1
r 2
là hàm đơn điệu hoàn
toàn. Hơn nữa, với mọi m, m ≥
, (– 1)m(m)(r) cũng là hàm đơn điệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
hoàn toàn. Vì vậy, hàm bán kính Multiquadric (MQ) tổng quát
r2 2
1
là xác định dƣơng chặt có điều kiện bậc m, m ≥
.
r
/2
/ 2
2. Hàm (r)=(– 1) r , > 0, 2N thỏa mãn:
k
2 2
2
(k)
/ 2
/ 2
/ 2
(r)=(– 1)
1 ... k 1 r 2 vì vậy (–1) (r) là
hàm đơn điệu hoàn toàn. Hơn nữa, với mọi m, m ≥ / 2 hàm
1 m
m
1
bậc m, m ≥ / 2
r
cũng là hàm đơn điệu hoàn toàn. Vì vậy, hàm Năng lượng
/ 2
r
r ,
> 0, 2N là hàm xác định dƣơng chặt có điều kiện
.
3. Hàm Thin plates spline (TPS) (r) = (– 1)k+1r2k lnr, k N
Là các hàm xác định dƣơng chặt có điều kiện bậc m ≥ k+1. Thật
vậy: Xét hàm (r) = (– 1)k+1(r)k lnr. Khi đó, đào hàm cấp l, l k của
(r) là: (l)(r) = (–1)k+1k(k – 1)…(k – l +1)rk-l lnr + pl(r), trong đó pl(r)
là đa thức bậc k – l. Vì vậy, đạo hàm cấp k sẽ là: (k)(r) = (–1)k+1k! lnr
k!
(k1) (r) (1)k1
+C, và đạo hàm cấp k + 1 là
, là hàm đơn điệu hoàn
r
1
toàn trên (0, ). Do đó, hàm (r) = (–1)k+1r2k lnr = (r2) là hàm xác
2
định dƣơng chặt có điều kiện bậc m ≥ k + 1.
1.1.6 Ví dụ nội suy bằng hàm RBF:
Cho hàm mẫu Franke nhƣ sau:
(9x1)2 (9 y1)2
1
(9x2)2 (9y2)2
3
3
49
10
f1 e 4
;
;
f2 e
;
4
4
1
2
9x7
2
9 y3
2
2
9y7
1
1
9x4
f4 e
;
f3 e 4
2
5
f f1 f2 f3 f4
;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
Cho trƣớc tập giá trị
; i, j = 1,…,n, trong đó (xi,yj) [0,1]2 là
zij f xi , yj
tập điểm nội suy. Để đơn giản, chúng tôi chọn tập điểm nội suy là lƣới đều
trên miền [0,1]2 và tập tâm trùng với tập điểm nội suy.
n
Xây dựng hàm nội suy Pj = ck(||u - uk||). Trong đó uk = (x,y)Tập điểm
j1
tâm, đƣợc chọn là hàm IMQ.
Cho thỏa mãn điều kiện nội suy ta đƣợc hệ n2 phƣơng trình, n2 ẩn. Kết quả
trong một số lƣới đƣợc cho trong bảng 1.1, với các sai số đƣợc định nghĩa
nhƣ sau:
n2
1
n2
1
2
P
j
f
j
Pf f
- Sai số tƣơng đối:
- Sai số lớn nhất:
f
2
n
j1
max P j f j P f
f
f
j1,...,n2
Bảng 1.1 Sai số nội suy hàm Frank với = 3
IMQ
MQ
Lưới
Sai số tƣơng đối Sai số lớn nhất Sai số tƣơng đối Sai số lớn nhất
7 x 7
1.211536e-002 8.600572e-002 1.260168e-002 8.722025e-002
10 x 10 1.685702e-003 1.122684e-002 2.241647e-003 1.548224e-002
13 x 13 4.226489e-004 2.856954e-003 4.470312e-004 2.756763e-003
17 x 17 3.761833e-005 3.703740e-004 4.168475e-005 4.447710e-004
20 x 20 4.346574e-006 7.352464e-005 5.739650e-006 6.316986e-005
1.2. Bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tượng 3D:
Ngày nay, nhờ sự phát triển nhƣ vũ bão của khoa học kỹ thuật – công
nghệ mà loài ngƣời đã có những bƣớc tiến lớn trong nhiều lĩnh vực khác
nhau. Và một trong số đó là vấn đề khôi phục và biểu diễn các đối tƣợng
3D.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Khôi phục đối tƣợng 3D đã trở thành một nhu cầu cần thiết trong các
lĩnh vực khác nhau nhƣ: Tạo ảnh trong y học, các ứng dụng mỹ thuật, thiết
kế sản phẩm, tạo nguyên mẫu nhanh và trong các phạm vi khác. Việc tạo
mô hình 3D bằng phƣơng pháp thủ công tốn nhiều thời gian và do vậy chi
phí sẽ đắt đỏ. Vì lý do đó, các kỹ thuật đã và đang tiếp tục đƣợc nghiên
cứu, các kỹ thuật này cho phép khôi phục tự động các đối tƣợng 3D. Các
kỹ thuật này có thể chia thành 2 phƣơng pháp: phƣơng pháp chủ động và
phƣơng pháp bị động [25]. Nhƣợc điểm của các phƣơng pháp chủ động là
quá trình khôi phục có thể trở thành một công trình ngân sách cao. Vì lý
do đó, cách tiếp cận đƣợc giới thiệu thuộc về các phƣơng pháp bị động, nó
yêu cầu ít thiết bị hơn và có thể áp dụng một cách tổng quát hơn.
Các phƣơng pháp khôi phục các đối tƣợng 3D truyền thống không thực
hiện tốt ở hai hƣớng:
- Thứ nhất: Chúng không thể xử lý các trƣờng hợp có độ phức tạp cao
đƣợc tìm thấy trong tự nhiên (Ví dụ: các bộ phận của con ngƣời hay
các ảnh cực nhỏ của mô).
- Thứ hai: Chúng không đƣa dữ liệu bề mặt vào một định dạng làm cho
gọn và thích hợp để mô phỏng, hiển thị hoặc định vị
Có 5 trƣờng hợp khôi phục các đối tƣợng 3D [26]. Trƣờng hợp đầu tiên
là với các ảnh đƣợc chụp bằng máy ảnh không định cỡ, làm việc với loại
ảnh này có thể khôi phục lại đối tƣợng so sánh với các phép biến đổi ảnh
xạ. Hai là, khôi phục từ các máy ảnh định cỡ làm việc với loại ảnh này có
thể khôi phục lại đối tƣợng so sánh với các phép biến đổi đồng dạng. Ba
là, các thuộc tính đại số của các hàm đa tuyến tính và các lý tƣởng phát
sinh bởi chúng đƣợc nghiên cứu. Trƣờng hợp thứ tƣ sử dụng kỹ thuật khôi
phục Ơ-clít khi một số thông tin của các máy ảnh đƣợc đƣa ra. Trƣờng hợp
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
cuối cùng là khôi phục một ảnh của một đối tƣợng hoặc bản vẽ nét đƣợc
biết tới là mảnh 2 chiều.
Nhƣ vậy có thể thấy rằng bài toán khôi phục và biểu diễn các đối tƣợng
3D là một bài toán có ý nghĩa rất lớn và quan trọng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Chƣơng 2: NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG HÀM RBF VÀO BÀI TOÁN KHÔI
PHỤC VÀ BIỂU DIỄN CÁC ĐỐI TƢỢNG 3D
Chúng ta sử dụng hàm cơ sở bán kính đa điều hòa (RBFs) để khôi phục lại
các bề mặt nhẵn, đa tạp từ tập các điểm dữ liệu tập trung và phục hồi các lƣới
điểm không đầy đủ. Một bề mặt của đối tƣợng đƣợc định nghĩa hoàn toàn
giống nhƣ một tập hợp số 0 của một hàm cơ sở bán kính phù hợp với dữ liệu
bề mặt đã cho. Các phƣơng pháp nhanh cho việc khớp dữ liệu và tính giá trị
hàm RBF cho phép chúng ta mô hình các tập hợp dữ liệu lớn, bao gồm hàng
triệu các điểm bề mặt, bằng một hàm RBF đơn trƣớc một bài toán khó giải.
Một thuật toán tham lam trong quá trình khớp dữ liệu làm rút gọn số lƣợng
các tâm RBF yêu cầu để biểu diễn một bề mặt và các kết quả ở dạng nén đáng
kể và hơn nữa là thuận lợi cho tính toán. Đặc trƣng cực tiểu hóa năng lƣợng
của các hàm ghép trơn đa điều hòa dẫn đến nội suy trơn nhất. Đặc trƣng tỷ lệ
điều hòa này là đủ thích hợp để khôi phục các bề mặt từ dữ liệu mẫu không
đều. Các lỗ là sự khớp dữ liệu nhẵn và sự ngoại suy nhẵn các bề mặt. Chúng
ta sử dụng một phép xấp xỉ không nội suy khi dữ liệu là nhiễu. Sự biểu diễn
hàm thực ra mà nói là một mô hình đặc, có nghĩa là độ chênh lệch và chuẩn
bề mặt có thể đƣợc phân tích rõ ràng. Sự hỗ trợ này sinh ra các lƣới đều và
chúng ta thấy rằng sự biểu diễn RBF có các lợi ích cho việc rút gọn lƣới và
sự áp dụng lại lƣới.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Hình 2.1: (a) Khớp một hàm RBF vào một tập hợp các điểm dữ liệu tập trung
438.000 điểm. (b) Sự phục hồi lƣới tự động sử dụng hàm RBF song điều hòa.
2.1. Các bề mặt ẩn:
Bài toán khôi phục hoặc biểu diễn bề mặt có thể phát biểu nhƣ sau:
n
Bài toán 2.1. Cho n điểm phân biệt xi , yi , zi trên một bề mặt M trong
i1
không gian R3, tìm một bề mặt M’ là gần đúng hợp lý với M.
Phƣơng pháp của chúng ta là mô hình bề mặt ẩn bằng một hàm f (x, y, z)
.
Nếu một bề mặt M gồm có tất cả các điểm thỏa mãn phƣơng trình:
(x, y, z)
f (x, y, z) 0
,
(2.1)
thì chúng ta nói rằng hàm f xác định không tƣờng minh bề mặt M. Mô tả
các bề mặt ẩn với rất nhiều loại hàm là một kỹ thuật nổi tiếng [10].
Trong hình học kiến thiết vật thể (CSG) một mô hình ẩn đƣợc tạo thành từ
các hàm sơ cấp đơn giản nhờ sự kết hợp của các phép toán Boolean (phép
hợp, phép giao vv..) và các hàm trộn. Các kỹ thuật CSG thích hợp cho việc
thiết kế các đối tƣợng trong CAD hơn là phục hồi các đối tƣợng từ dữ liệu
mẫu. Các mặt đại số bậc thấp từng mẩu, đôi khi đƣợc xem nhƣ là các
miếng vá ẩn hoặc các tập nửa đại số, cũng có thể đƣợc sử dụng để định
nghĩa các bề mặt ẩn.
Chúng ta mong muốn mô hình đƣợc toàn bộ đối tƣợng với một hàm
đơn liên tục và khả vi. Sự mô tả hàm đơn có một số ƣu điểm thông qua các
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
bề mặt giới hạn từng mẩu và các miếng vá ẩn. Nó có thể tính toán ở mọi
nơi để sinh ra một lƣới đặc biệt, nghĩa là sự biểu diễn một bề mặt đa tạp có
thể đƣợc tính toán với cách giải mong muốn khi đƣợc yêu cầu. Hiếm khi,
các bề mặt mẫu không đều có thể mô tả một cách đơn giản và bài toán
tham số hóa bề mặt kết hợp với việc khớp từng mẩu các miếng vá hàm
ghép trơn bậc ba là nên tránh.
Carr et al. [11] sử dụng hàm cơ sở bán kính để khôi phục các bề mặt
hộp xƣơng sọ bằng việc nội soi 3D CT. Dữ liệu xung quanh các lỗ lớn
không đều trong hộp sọ đƣợc nội suy sử dụng hàm xác định dƣơng chặt
RBF. Tấm titan đƣợc đúc trong khuôn của bề mặt thích hợp để tạo thành
một hộp sọ giả. Tài liệu đó khai thác các đặc điểm nội suy và ngoại suy
của hàm RBF hợp lý nhƣ các đặc tính vật lý cơ bản của hàm xác định
dƣơng chặt. Tuy nhiên, phƣơng pháp chỉ giới hạn mô hình các bề mặt mà
có thể biểu diễn rõ ràng nhƣ một hàm 2 biến. Trong luận văn này chúng tôi
chứng minh đƣợc rằng bằng cách sử dụng các phƣơng pháp nhanh, hàm
RBF có thể khớp các tập dữ liệu 3D gồm có hàng triệu điểm không có các
giới hạn trên cấu trúc liên kết bề mặt – loại tập dữ liệu cơ bản của các ứng
dụng công nghiệp.
2.2. Khớp một hàm ẩn vào một bề mặt
Ta muốn tìm một hàm f mà xác định không tƣờng minh một bề mặt M’
và thỏa mãn phƣơng trình
f (xi , yi , zi ) 0,
i 1,...,n,
n
(x , yi , zi
với
là các điểm nằm trên bề mặt. Để tránh trƣờng hợp nghiệm
i1
tầm thƣờng mà f là 0 ở mọi nơi, các điểm ngoài bề mặt đƣợc bổ sung vào
dữ liệu vào và chúng đƣa ra các giá trị khác 0. Việc này mang đến một vấn
đề nội suy hữu ích hơn: Tìm hàm f nhƣ sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
f (xi , yi , zi ) 0,
i 1,...,n
(các điểm trên bề mặt),
(các điểm ngoài bề mặt).
f (xi , yi , zi ) di 0,
i n 1,...,N
Đẳng mặt
f(x) = 0
f(x) > 0
f(x) < 0
Điều này vẫn mang đến một bài toán tạo ra các điểm ngoài bề mặt
N
(x , yi , zi
và giá trị di tƣơng ứng.
i1
Một sự lựa chọn hiển nhiên cho hàm f là một hàm khoảng cách điểm,
với giá trị di đƣợc chọn là khoảng cách tới điểm gần nhất trên bề mặt. Các
điểm bên ngoài đối tƣợng đƣợc gán các giá trị dƣơng, trong khi các điểm
bên trong đƣợc gán giá trị âm. Theo Turk &O‟Brien những điểm ngoài bề
mặt đƣợc sinh ra bởi phần nhô ra dọc theo các đƣờng pháp tuyến bề mặt.
Các điểm ngoài bề mặt có thể đƣợc gán với mỗi mặt của bề mặt nhƣ đƣợc
minh họa trong hình 2.2.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Các điểm pháp tuyển ngoài bề mặt
Các điểm trên bề mặt
Hình 2.2: Một hàm khoảng cách điểm đƣợc xây dựng từ dữ liệu bề mặt bằng
việc định rõ các điểm ngoài bề mặt dọc theo các đƣờng pháp tuyến bề mặt.
Những điểm này có thể đƣợc định rõ ở mỗi phía của bề mặt hoặc không ở
phía nào cả.
Hình 2.3. Sự khôi phục của một bàn tay từ đám điểm có và không thông qua
các độ dài pháp tuyến
Kinh nghiệm cho thấy rằng tốt hơn hết là bổ sung tại một điểm dữ liệu
hai điểm ngoài bề mặt, mỗi điểm nằm trên một phía của bề mặt. Trong
hình 2.3 các điểm bề mặt nhận đƣợc từ việc quét laser của một bàn tay
đƣợc biểu thị bằng màu xanh. Các điểm ngoài bề mặt đƣợc mã hóa màu
theo khoảng cách của chúng xuất phát từ điểm đƣợc liên kết trên bề mặt
của chúng. Màu nóng (màu đỏ) mô tả các điểm dƣơng nằm ở bên ngoài bề
mặt trong khi màu lạnh (xanh) nằm ở bên trong. Có hai bài toán cần giải
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
quyết: xác định các đƣờng pháp tuyến bề mặt và định rõ khoảng cách hình
chiếu thích hợp.
Nếu ta có một lƣới không hoàn toàn, thì rất đơn giản để định nghĩa các
điểm ngoài bề mặt từ đó các đƣờng tiếp tuyến đƣợc bao hàm bởi sự liên
kết lƣới tại mỗi đỉnh. Trong trƣờng hợp điểm dữ liệu tập trung không có
trật tự, các đƣờng tiếp tuyến có thể đƣợc tính toán từ một vùng lân cận của
các điểm. Việc này cầu xác định cả phƣơng pháp tuyến và định rõ hƣớng
của pháp tuyến. Chúng ta xấp xỉ cục bộ điểm dữ liệu tập trung với một mặt
phẳng để tính toán phƣơng pháp tuyến và sử dụng tính tƣơng thích và/hoặc
thông tin bổ sung nhƣ vị trí máy quét để quyết định hƣớng của pháp tuyến.
Thông thƣờng, rất khó để dự đoán chắc chắn các pháp tuyến ở khắp nơi.
Tuy nhiên, không giống nhƣ các phƣơng pháp khác mà cũng dựa trên việc
tạo thành một hàm khoảng cách điểm, nó không quyết định để dự đoán các
đƣờng pháp tuyến ở mọi nơi. Nếu phƣơng pháp tuyến hoặc hƣớng là
không xác định tại một điểm đặc biệt thì chúng ta không đặt một pháp
tuyến tại điểm đó. Thay vào đó, chúng ta cho phép thực tế điểm dữ liệu là
một điểm 0 (nằm trên bề mặt) ràng buộc vào hàm trong vùng đó.
Đƣa ra một tập hợp các pháp tuyến bề mặt, phải thận trọng khi đƣa ra
các điểm ngoài bề mặt dọc theo các pháp tuyến để đảm bảo rằng chúng
không cắt các phần khác của bề mặt. Điểm chiếu là đƣợc vẽ ra do đó điểm
bề mặt gần nhất là điểm bề mặt sinh ra nó. Miễn là điều kiện ràng buộc
này thỏa mãn, bề mặt đƣợc xây dựng lại là tƣơng đối không nhạy với
khoảng cách hình chiếu. Hình 2.3(c) minh họa cho tác động của các điểm
ngoài bề mặt nhô ra các khoảng không thích hợp dọc theo các đƣờng pháp
tuyến. Các điểm ngoài bề mặt đã lựa chọn nằm cách một khoảng cố định
tính từ bề mặt. Bề mặt kết quả, với f bằng 0 bị biến dạng trong vùng lân
cận của các ngón tay ở chỗ mà các véc tơ pháp tuyến đối lập đã cắt nhau
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
và đã sinh ra các điểm ngoài bề mặt với giá trị khoảng cách tới bề mặt
không đúng, cả về điểm và độ lớn. Trong hình 2.3(a) và (b) giá trị của các
khoảng cách ngoài bề mặt và hình chiếu động đã đảm bảo rằng các điểm
ngoài bề mặt sinh ra một miền khoảng cách nhất quán với dữ liệu bề mặt.
Hình 2.4 là một mặt cắt qua các ngón tay của bàn tay. Hình ảnh minh họa
cách hàm RBF xấp xỉ một hàm khoảng cách gần giống bề mặt của đối
tƣợng. Các đẳng đƣờng tại +1, 0 và -1 ở phần trên của hình và hình dáng
hàm tƣơng ứng bên dƣới, minh họa việc làm thế nào các điểm ngoài bề
mặt sinh ra một hàm với một đại lƣợng chênh lệch gần bằng 1 gần bề mặt.
Hình 2.4: Mặt cắt qua các ngón tay của một bàn tay đƣợc khôi phục từ tập điểm
tập trung trong hình 2.3. Đẳng đƣờng tƣơng ứng với +1, 0 và -1 đƣợc hiển thị
(trên đỉnh) cùng với một mặt cắt nghiêng của hàm cơ cở bán kính (bên dƣới) dọc
theo đƣờng thẳng xuất hiện.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
2.3. Nội suy hàm cơ sở bán kính
Cho một tập các điểm bề mặt có giá trị bằng 0 và các điểm ngoài bề
mặt khác 0 bây giờ chúng ta có một bài toán nội suy dữ liệu tán xạ: chúng
ta muốn xấp xỉ hàm khoảng cách điểm f(x) bằng một hàm nội suy s(x). Bài
toán có thể đƣợc phát biểu nhƣ sau:
Bài toán 2.2. Cho một tập hợp các nút riêng biệt X xi i1 R3 và một tập
N
hợp các giá trị hàm fi i1 R, tìm một hàm nội suy: R3 → R nhƣ sau:
N
s(xi ) fi ,
i 1,..., N.
(2.2)
Chú ý rằng chúng ta sử dụng ký hiệu X (x, y, z) cho các điểm x
R3.
Hàm nội suy sẽ lựa chọn từ BL(2) (R3), không gian Beppo-Levi các hàm
suy rộng trên R3 với bình phƣơng đạo hàm cấp hai khả tích. Không gian
này là đủ lớn để có nhiều lời giải cho bài toán 2.2 và vì vậy chúng ta có thể
định nghĩa không gian affin của các phép nội suy:
S = {s BL(2) (R3) : s(xi) = fi,
i = 1,…,N}
(2.3)
Không gian BL(2) (R3) đƣợc trang bị bởi nửa chuẩn bất biến xoay định
nghĩa bởi
2
2
2
2
2
2
2
2
s(x)
s(x)
s(x)
s(x)
2
s
2
x2
y2
z2
xy
R3
2
(2.4)
2
2
2
s(x)
s(x)
yz
2
2
dx.
xz
Nửa chuẩn này là một độ đo của năng lƣợng hoặc “độ nhẵn” của các
hàm: các hàm với nửa chuẩn nhỏ là nhẵn hơn so với các hàm có nửa chuẩn
lớn. Duchon [13] chứng tỏ rằng nội suy trơn nhất, nghĩa là:
s* arg min s ,
sS
có dạng đơn giản
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
N
s* (x) p(x) x x ,
(2.5)
i
i
i1
Với p là một đa thức tuyến tính, các hệ số i là các số thực và | . | là quy tắc
Ơ cơ lít trên R3
Hàm này là một ví dụ đặc biệt của hàm RBF. Thông thƣờng, một hàm
RBF có dạng:
N
s(x) p(x) x x
,
(2.6)
i
i
i1
với p là một đa thức bậc thấp và hàm cơ sở là một hàm giá trị thực trong
khoảng [0,
), thƣờng không bị chặn và chứng minh không chặt. Trong
tình huống này các điểm xi đƣợc xem nhƣ là các tâm của RBF.
Các lựa chọn phổ biến cho hàm cơ sở bao gồm hàm xác định dƣơng
(r) r2 log(r)
chặt
(cho việc khớp các hàm trơn hai biến), hàm Gauss
(r) exp(cr 2 ) (chủ yếu cho các mạng thần kinh), và hàm đa bậc hai
(r) r2 c2
(cho nhiều ứng dụng, trong việc khớp đặc biệt với dữ liệu
định vị). Với các hàm khớp dữ liệu 3 biến, lựa chọn tốt bao gồm hàm ghép
trơn song điều hòa ((r) r,tức là, phƣơng trình (2.5)) và tam điều hòa
(r) r3
(
).
Một lựa chọn tùy ý các hệ số i trong phƣơng trình (2.5) sẽ sinh ra một
hàm s* không thuộc BL(2) (R3). Điều kiện
giao hay các điều kiện bổ sung
BL(2) (R3) kéo theo tính trực
*
s
N
N
N
N
x y z 0
i
i
i
i
i
i
i
i1
i1
i1
i1
Thông thƣờng hơn, nếu đa thức trong phƣơng trình (2.6) là bậc m thì
điều kiện bổ sung đặt lên các hệ số là:
N
q(x ) 0
, cho tất cả các đa thức q bậc cao nhất của m.
(2.7)
i
i
i1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
Các điều kiện bổ sung này cùng với các điều kiện nội suy của phƣơng
trình (2.2) dẫn đến một hệ tuyến tính để tìm ra các hệ số định rõ hàm RBF.
Cho {p1,…,pl} là một cơ sở các đa thực bậc cao nhất là m và cho
c
c1 ,..., cl
là các hệ số tạo lên p trong cơ sở này. Thì phƣơng trình (2.2)
và (2.7) có thể viết dƣới dạng ma trận nhƣ sau:
A
P
f
0 c
,
(2.8)
B
T
P
c
0
với
AiJ ( xi x j ),
i, j 1,..., N,
i 1,..., N,j 1,..., l.
P Pj (xi ),
iJ
Trong trƣờng hợp cụ thể của hàm ghép trơn song điều hòa trong không
gian 3D, nếu giả thiết rằng phần đa thức của hàm RBF trong phƣơng trình
p(x) c c x c y c z
(2.5) có dạng
, thì
1
2
3
4
A xi xj ,
i, j 1,..., N,
ij
P là ma trận với dòng thứ i (1, xi , yi , zi ),
c (c1,c2 ,c3 ,c4 )T .
(1,..., N )T và
Giải hệ tuyến tính (2.8) xác định đƣợc và c, và từ đó xác định s(x).
Tuy nhiên, ma trận B trong phƣơng trình (2.8) có các điều kiện không
đáng kể nhƣ số lƣợng các điểm dữ liệu N nhận đƣợc lớn hơn. Những điều
này có nghĩa là những lỗi chính yếu nhất sẽ dễ dàng đƣa vào lời giải chuẩn
nào.
Thoạt nhìn, bản chất địa phƣơng cơ bản của hàm Gauss, hàm đa bình
1
2
2
2
phƣơng ngƣợc ((r) (r c ) ) và các hàm cơ sở tựa chặt dƣờng nhƣ dẫn
đến các đặc tính mong muốn trong hàm RBF. Ví dụ ma trận B có cấu trúc
đặc biệt (rải rác) có thể khai thác bởi các phƣơng pháp nổi tiếng và sự tính
toán của phƣơng trình (2.6) chỉ yêu cầu phép tổng qua các tâm xung quanh
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
24
thay cho tất cả các tâm N. Tuy nhiên, các hàm cơ sở tựa không chặt là phù
hợp hơn với phép ngoại suy và phép nội suy không đều, dữ liệu lấy mẫu
không cùng kiểu. Thật vậy, các thử nghiệm số sử dụng hàm Gauss và các
đa thức từng mẩu tựa chặt cho việc khớp các bề mặt vào các điểm tập
trung đã cho thấy rằng những hàm cơ sở này sinh ra các bề mặt với nhiều
thành phần lạ không mong muốn tại phần thêm vào chỗ thiếu của phép
ngoại suy ngang qua các lỗ.
Các thuộc tính tối giản năng lƣợng của hàm ghép trơn song điều hòa
giúp chúng rất phù hợp để biểu diễn các đối tƣợng 3D. Từ đó hàm cơ sở
tƣơng ứng
không tựa chặt và trở lên lớn tùy ý khi r dần tới vô cực,
(r) r
ma trận tƣơng ứng B của phƣơng trình (2.8) không bị thƣa và trừ cấu trúc
cân đối, không có cấu trúc rõ ràng nào có thể khai thác trong việc giải hệ.
N 3 (N 1)
Lƣu trữ tam giác dƣới của ma trận B đòi hỏi khoảng trống cho
2
số thực. Cách giải quyết thông qua một giải pháp đối xứng sẽ đòi hỏi
N 3
6 O(N 2 )
chỗ lƣu trữ. Đối với một bài toán với 20.000 điểm dữ liệu đây là
9
một yêu cầu với xấp xỉ
bytes (1.5GB) bộ nhớ lõi là không thực tế.
1.610
Hơn nữa, điều kiện không đúng của ma trận B có thể tạo ra bất kỳ kết quả
nào một trong số đó lấy từ một phép tính trực tiếp không đáng tin cậy lắm.
Nhƣ vậy, rõ ràng các phƣơng pháp trực tiếp không thích hợp cho các bài
toán với
. Hơn nữa, một phép tính đơn trực tiếp của phƣơng trình
N 2,000
(2.6) cần đến các phép tính O(N). Các hệ số này đã dẫn đến nhiều tác giả
kết luận rằng, cho dù hàm cơ sở bán kính thƣờng là phép nội suy đƣợc lựa
chọn, chúng chỉ phù hợp cho những bài toán với nhiều nhất vài ngàn điểm
[14,15].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
25
Độ chính xác điều chỉnh
+ các nút nội suy
- - - - độ chính xác tính toán
. các điểm tính toán đƣa ra
khớp bằng RBF
…… bề mặt đƣa ra
Hình 2.5 : Hình minh họa của phƣơng pháp điều chỉnh nhanh và các giá trị
tính toán
Hình 2.6 : Một thuật toán tham lam lặp lại việc khớp một hàm RBF vào một tập
điểm tập trung dẫn đến các tâm ít hơn trong hàm cuối cùng. Trong trƣờng hợp
này 544.000 điểm tập trung đƣợc biểu diễn bởi 80.000 tâm tới một độ chính xác
tƣơng đối 5x10-4 trong hình ảnh cuối cùng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Tải về để xem bản đầy đủ
62 trang
19/05/2025
80
Bạn đang xem 30 trang mẫu của tài liệu "Luận văn Hàm RBF và một số ứng dụng trong đồ họa máy tính", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
File đính kèm:
- luan_van_ham_rbf_va_mot_so_ung_dung_trong_do_hoa_may_tinh.pdf
