Luận văn Một số quy trình suy diễn trong hệ mờ
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
HỒ KHÁNH LÊ
MỘT SỐ QUY TRÌNH SUY DIỄN
TRONG HỆ MỜ
Ngành:
Công nghệ thông tin
Chuyên ngành: Hệ thống thông tin
Mã số:
60.48.05
LUẬN VĂN THẠC SĨ
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TSKH. Bùi Công Cường
Hà Nội – 2009
ii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn “Một số quy trình suy diễn trong hệ Mờ” là công
trình nghiên cứu của riêng tôi, không sao chép của bất kỳ ai. Nội dung của luận án
được trình bày từ những kiến thức tổng hợp của cá nhân, tổng hợp từ các nguồn tài
liệu có xuất xứ rõ ràng và trích dẫn hợp pháp. Kết quả nghiên cứu được trình bày
trong luận văn này chưa từng được công bố tại bất kỳ công trình nào khác.
Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm, và nếu sai, tôi xin chịu mọi hình thức kỷ
luật theo quy định.
Hà Nội, ngày 7 tháng 12 năm 2009
Học viên thực hiện
Hồ Khánh Lê
iii
LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới PGS.TSKH Bùi Công
Cường, người hướng dẫn khoa học, đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ và tạo điều kiện
cho tôi hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trường Đại học Công nghệ, Đại học
Quốc gia Hà Nội đã giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho tôi.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân và các bạn bè đồng nghiệp đã
chia sẻ, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Mặc dù đã hết sức cố gắng với tất cả sự nỗ lực của bản thân, nhưng chắc luận
văn vẫn còn những thiếu sót. Kính mong nhận được những ý kiến đóng góp của
quý Thầy, Cô và bạn bè đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 7 tháng 12 năm 2009
Học viên thực hiện
Hồ Khánh Lê
iv
MỤC LỤC
Trang
Trang bìa phụ..........................................................................................................................
LỜI CAM ĐOAN.................................................................................................................ii
LỜI CẢM ƠN .....................................................................................................................iii
MỤC LỤC...........................................................................................................................iv
BẢNG KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT ..........................................................................vi
DANH MỤC CÁC BẢNG..................................................................................................vi
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ .............................................................................vi
MỞ ĐẦU..............................................................................................................................1
CHƯƠNG I - CƠ SỞ LOGIC MỜ.......................................................................................3
1.1. Logic rõ và sự xuất hiện của logic mờ......................................................................3
1.2. Các phép toán về tập mờ...........................................................................................4
1.2.1. Phép phủ định ....................................................................................................4
1.2.2. T - chuẩn ............................................................................................................5
1.2.3. T - đối chuẩn....................................................................................................10
1.3. Một số vấn đề liên quan của các toán tử trong Logic Mờ.......................................15
1.3.1. Phép đối ngẫu...................................................................................................16
1.3.2. Quan hệ giữa t - chuẩn và t - đối chuẩn...........................................................16
1.3.3. Một số qui tắc với phép hội và phép tuyển......................................................17
1.4. Phép kéo theo ..........................................................................................................19
1.4.1. Định nghĩa phép kéo theo................................................................................19
1.4.2. Một số dạng hàm kéo theo cụ thể ....................................................................20
1.4.3. Đồ thị một số hàm kéo theo được quan tâm....................................................26
1.5. Quan hệ mờ và phép hợp thành...............................................................................27
1.5.1. Quan hệ mờ......................................................................................................27
1.5.2. Phép hợp thành ................................................................................................28
CHƯƠNG 2 – LUẬT MỜ VÀ HỆ SUY DIỄN MỜ .........................................................29
2.1. Hệ mờ trên cơ sở các luật mờ..................................................................................29
2.1.1. Định nghĩa luật mờ ..........................................................................................29
2.1.2. Định nghĩa hệ mờ trên cơ sở các luật mờ ........................................................31
2.2. Hệ suy diễn mờ........................................................................................................32
2.2.1. Kiến trúc cơ bản của hệ suy diễn mờ...............................................................32
2.2.3. Các bước suy diễn mờ .....................................................................................33
2.2.4. Một số phương pháp suy diễn trong hệ mờ .....................................................38
CHƯƠNG III - LẬP LUẬN XẤP XỈ TRONG HỆ MỜ TRÊN CƠ SỞ CÁC LUẬT MỜ41
3.2. Mô hình ngôn ngữ - Linguistic models (LM) .........................................................41
3.3. Suy diễn với mô hình mờ........................................................................................42
3.4. Mô hình Mamdani (Constructive) và Logical (Destructive) ..................................44
3.4.1. Phương pháp lập luận Mandani .......................................................................45
v
3.4.2. Phương pháp lập luận logic .............................................................................48
3.5. Mô hình ngôn ngữ với tập hợp các đầu ra ..............................................................53
3.6. Mô hình Takagi – Sugeno – Kang (TSK)...............................................................55
3.6.1. Mô hình............................................................................................................55
3.6.2. Một số ví dụ mô hình TSK đơn giản ...............................................................57
CHƯƠNG 4 – BỘ CÔNG CỤ LOGIC MỜ CỦA MATLAB VÀ CÀI ĐẶT THỬ THUẬT
TOÁN.................................................................................................................................59
4.1. Giới thiệu chung môi trường MATLAB.................................................................59
4.2. Bộ công cụ Logic Mờ (Fuzzy logic toolbox)..........................................................60
4.2.1. Giới thiệu .........................................................................................................60
4.2.2. Các tính năng cơ bản của FLT.........................................................................63
4.2.3. Xây dựng hệ suy diễn bằng GUI của FLT.......................................................63
4.2.4. Cấu trúc của hệ suy diễn mờ trong Matlab......................................................65
4.3. Bài toán ví dụ và cài đặt thử thuật toán 1, 2............................................................65
4.3.1. Bài toán điều khiển tín hiệu đèn giao thông ....................................................66
4.3.2. Tiêu chí và ràng buộc.......................................................................................67
4.3.3. Thiết kế bộ điều khiển giao thông mờ .............................................................68
KẾT LUẬN ........................................................................................................................74
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ..................................................................75
TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................................................76
vi
BẢNG KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Ký hiệu
Tên đầy đủ
Linguistic Model
LM
TSK
FIS
Takagi – Sugeno – Kang Model
Fuzzy Inference System
Fyzzy Logic Toolbox
FLT
DANH MỤC CÁC BẢNG
Trang
Bảng 1.1: Các cặp đối ngẫu với n(x) = 1-x ....................................................................... 17
Bảng 2.1: Phương pháp giải mờ trung bình tâm với m = 2............................................... 39
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Trang
Hình 1.2: Đồ thị t-chuẩn yếu nhất T0 ...................................................................................7
Hình 1.2: Đồ thị t-chuẩn Lukasiewiez .................................................................................7
Hình 1.3: Đồ thị t-chuẩn T2 ..................................................................................................8
Hình 1.4: Đồ thị t-chuẩn t(x,y) = x*y...................................................................................8
Hình 1.5: Đồ thị t-chuẩn min ...............................................................................................8
Hình 1.5: Đồ thị t-chuẩn Min-Nilpotent...............................................................................8
Hình 1.6: Đồ thị t-chuẩn T4 ..................................................................................................9
Hình 1.7: Giao của 2 tập mờ dạng tích...............................................................................10
Hình 1.8: Giao của 2 tập mờ dạng min ..............................................................................10
Hình 1.8: Đồ thị hàm t-đối chuẩn SN..................................................................................12
Hình 1.9: Đồ thị T-đối chuẩn SM........................................................................................13
Hình 1.10: Đồ thị T-đối chuẩn SP.......................................................................................13
Hình 1.11: Đồ thị T-đối chuẩn S2.......................................................................................13
Hình 1.13: Đồ thị T-đối chuẩn S4.......................................................................................13
Hình 1.14: Đồ thị T-đối chuẩn SL ......................................................................................14
Hình 1.15: Đồ thị T-đối chuẩn S0.......................................................................................14
vii
Hình 1.16: Hợp của hai tập mờ dạng Max.........................................................................15
Hình 1.17: Hợp của hai tập mờ dạng Lukasewiez .............................................................15
Hình 1.18: Đồ thị IQL= 1-x+x2y..........................................................................................23
Hình 1.19: Đồ thị IQL= max(y,1-x).....................................................................................23
Hình 1.20: Đồ thị I(x,y)=max(1-x,min(x,y))......................................................................26
Hình 1.21: Đồ thị hàm I(x,y) - Godeh................................................................................26
Hình 1.22: Đồ thị hàm I(x,y) - Goguen..............................................................................27
Hình 2.1: Động cơ điều khiển tốc độ không khí. ...............................................................30
Hình 2.2: Cấu trúc cơ bản của hệ suy diễn mờ ..................................................................32
Hình 2.3: Giải mờ bằng phương pháp cực đại ...................................................................36
Hình 2.4: Giải mờ bằng phương pháp trung bình ..............................................................36
Hình 2.5: Giải mờ theo phương pháp trung bình tâm........................................................36
Hình 2.6: Hàm thuộc hợp thành dạng đối xứng.................................................................36
Hình 2.7: Giải mờ trung bình tâm với m=2 .......................................................................37
Hình 3.1: Phân phối kết hợp luật R1(x,y): IF U là Bi THEN V là Di .................................44
Hình 3.2: Phương pháp lập luận Mamdani/Constructive...................................................47
Hình 3.3: Kết quả tính toán đầu ra bằng hình phương pháp Mamdani..............................47
Hình 3.4: Sơ đồ khối của phương pháp lập luận lôgic.......................................................51
Hình 3.5: Tính toán kết quả đầu ra bằng hình của phương pháp logic ..............................51
Hình 3.6: Biểu diễn các quan hệ mờ R tương ứng với phương pháp Mamdani ................52
Hình 3.7: Sơ đồ khối của cơ chế suy diễn đơn giản...........................................................54
Hình 3.8: Biểu diễn hình học của hệ suy diễn ở ví dụ 2 ....................................................58
Hình 4.1: Cửa sổ soạn thảo phân lớp Mờ- Neuron thích nghi ...........................................61
Hình 4.2: Hệ thống suy diễn Mờ được thiết kế bằng Simulink .........................................62
Hình 4.3: Mô hình cấu trúc GUI trong Matlab ..................................................................64
Hình 4.4: Cấu trúc FIS .......................................................................................................65
Hình 4.5: Hàm thuộc biến mờ của biến vào Arrival ..........................................................69
Hình 4.6: Hàm thuộc biến mờ của biến vào Queue ...........................................................69
Hình 4.7: Hàm thuộc biến mờ của biến ra Extention.........................................................69
Hình 4.8: Biểu diễn hình học của hệ suy diễn dạng Mamdani ..........................................73
Hình 4.9: Biểu diễn hình học của hệ suy diễn dạng lập luận logic....................................73
1
MỞ ĐẦU
Từ những năm đầu của thập kỷ 90 cho đến nay, hệ điều khiển mờ và mạng
nơron (Fuzzy system and neuron network) được các nhà khoa học, các kỹ sư và
sinh viên trong mọi lĩnh vực khoa học kỹ thuật đặc biệt quan tâm nghiên cứu và
ứng dụng vào sản xuất. Tập mờ và logic mờ (Fuzzy set and Fuzzy logic) dựa trên
các suy luận của con người về các thông tin “không chính xác” hoặc “không đầy
đủ” về hệ thống để hiểu biết và điều khiển hệ thống một cách chính xác. Điều khiển
mờ chính là bắt chước cách xử lý thông tin và điều khiển của con người đối với các
đối tượng, do vậy, điều khiển mờ đã giải quyết thành công các vấn đề điều khiển
phức tạp trước đây chưa giải quyết được.
Hiện nay, có thể nói, công nghệ tính toán mờ là một trong những lĩnh vực
nghiên cứu phát triển mạnh mẽ nhất, được đánh dấu bằng sự ra đời của hàng loạt
phương pháp kỹ thuật ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Việc tích hợp các
kỹ thuật logic mờ với các phương pháp phân tích khác ngày càng diễn ra mạnh mẽ.
Logic mờ được ứng dụng rộng rãi để giải quyết rất nhiều bài toán của khoa học ứng
dụng. Những lĩnh vực có thể kể ra ở đây là vận trù học, hỗ trợ quyết định, điều
khiển, nhận dạng mẫu, kinh tế, quản lý, xã hội học, mô hình thống kê, máy học,
thiết kế cơ khí, chế tạo, phân lớp, suy luận, thu nhận thông tin, quản lý cơ sở dữ
liệu, chuẩn đoán y tế, hệ cơ sở tri thức, …
Đặc biệt trong lĩnh vực xử lý tri thức, công nghệ tính toán mờ tỏ ra vô cùng
hiệu quả. Do tri thức con người thường được biểu diễn bằng các thể hiện ngôn ngữ,
bằng các câu hỏi, các phát biểu về thế giới đang xét. Vấn đề đối với việc xử lý tri
thức là không chỉ ở việc liên kết các tri thức, các phát biểu về thế giới đang xét, mà
còn ở việc đánh giá sự đúng đắn của chúng. Logic hình thức cổ điển cho phép
chúng ta đánh giá một phát biểu về thế giới là hoặc đúng, hoặc sai. Tuy nhiên,
trong thực tế, đánh giá một phát biểu chỉ có đúng hoặc sai là rất khó nếu không
muốn nói là phi thực tế. Lấy ví dụ: đối với các tri thức dạng “Áp suất cao”, “Thể
tích nhỏ”, “Quả táo đỏ”, việc xác định một cách chính xác trị chân lý của chúng là
đúng hay sai là rất khó do các từ “cao”, “nhỏ” hay “đỏ” hoàn toàn có tính chất
mơ hồ. Từ đó Zadeh đã mở rộng logic mệnh đề thành logic mờ, trong đó, mỗi
mệnh đề P sẽ được gán cho 1 trị chân lý υ(P), một giá trị trong đoạn [0, 1], biểu
diễn mức độ đúng đắn của mệnh đề đó.
2
Luận văn với mục tiêu chính là tìm hiểu các quy trình suy diễn mờ sẽ tập
trung vào các nội dung như sau:
Chương I tìm hiểu về cơ sở của logic mờ, nhắc lại các khái niệm, định nghĩa
cơ bản của các toán tử trong logic mờ như t-chuẩn, t-đối chuẩn, phép phủ định,
phép kéo theo, hàm thuộc, phép hợp thành…
Chương II của luận văn tìm hiểu về khái niệm, định nghĩa của luật mờ và hệ
mờ trên cơ sở các luật mờ. Giới thiệu kiến thức cơ bản về kiến trúc, các bước suy
diễn của hệ suy diễn mờ và tìm hiểu một số phương pháp suy diễn trong hệ mờ.
Chương III đi sâu vào nghiên cứu kỹ hơn về các phương pháp lập lập xấp xỉ
trong hệ mờ. Tìm hiểu lại các mô hình ngôn ngữ, mô hình Mamdani và đặc biệt là
mô hình Takagi – Sugeno – Kang với đầu ra của hệ suy diễn không phải là biến mờ
đơn mà là một hàm đầu ra.
Chương IV giới thiệu lại bộ công cụ logic mờ của phần mềm Matlab – bộ
công cụ với đầy đủ các tính năng để thiết kế và xây dựng các hệ suy diễn mờ rất
hữu ích. Đồng thời giới thiệu bài toán thiết kế hệ suy diễn điều khiển tín hiệu đèn
giao thông, sử dụng để cài đặt thử kết quả cho các thuật toán giới thiệu trong
chương III của luận văn.
3
CHƯƠNG I - CƠ SỞ LOGIC MỜ
Để có thể tiến hành các phép toán logic trên các mệnh đề, chúng ta cần phải
có các phép toán logic mờ. Đó chính là các phép toán phủ định, t - chuẩn tương ứng
với phép hội, t - đối chuẩn ứng với phép tuyển, và phép kéo theo mờ.
Trong chương này, chúng ta sẽ nhắc lại các khái niệm về cơ sở logic mờ và
tìm hiểu hệ suy diễn mờ. Do giới hạn của luận văn nên có nhiều khái niệm, chứng
minh sẽ không được trình bày hết trong nội dung bài viết. Kiến thức cơ sở của logic
mờ có thể được xem thêm ở các tài liệu [1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 18]. Trước hết, chúng ta
bắt đầu bằng việc tìm hiểu về các toán tử mờ và một số tính chất đặc trưng của
chúng.
1.1. Logic rõ và sự xuất hiện của logic mờ
Logic rõ (logic thông thường) ta đã quá quen thuộc hàng ngày với những
khái niệm rất rõ ràng và từ đó cho ta các kết luận dứt khoát [9].
Chẳng hạn một cơ quan cần tuyển dụng người làm việc, trong các tiêu chuẩn
tuyển chọn có một tiêu chuẩn như sau:
Nếu người cao từ 1,6m trở lên thì thuộc loại người cao và được chấp nhận,
còn dưới 1,6m thì thuộc loại người thấp và bị loại.
Như vậy nếu có một người nào đó có đủ tất cả các
tiêu chuẩn khác nhưng chỉ cao 1,59m thì sẽ bị loại.
Logic suy nghĩ đó rất rõ ràng theo sơ đồ “máy tính”
ꢀ1.6m
như sau:
Như vậy, điểm 1,6m là điểm tới hạn để ra
quyết định, cứ 1,6m trở lên là thuộc loại người cao,
còn dưới 1,6m là loại người thấp.
Loại
Nhận
Những suy nghĩ về logic mờ (logic không rõ): trong cuộc sống hàng ngày,
đặc biệt là rất nhiều hiện tượng (nếu không nói là tất cả) được thể hiện bằng ngôn
ngữ đã đưa ta đến một khái niệm logi không rõ, logic mờ, chẳng hạn:
Anh này trông rất cao.
Cô này trông được đấy.
4
Hay như có nhà thơ viết:
Trời thì không nắng không mưa,
Chỉ hiu hiu mát cho vừa lòng nhau.
Các khái niệm như: trông rất cao, được đấy, không nắng không mưa, hiu hiu
mát, … thật khó cho ta đưa ra một con số cụ thể. Tuy vậy khi nghe các từ này ta
vẫn hình dung được một đặc tính cụ thể rõ rệt về đối tượng.
Những suy nghĩ này đưa đến khái niệm về logic mờ, chính logic mờ đã xóa
đi được khái niệm cứng nhắc của logic rõ, vì rằng logic mờ đã:
- Cho phép mô tả các trạng thái sự việc khi sử dụng các mức độ thay đổi giữa
đúng và sai.
- Có khả năng lượng hóa các hiện tượng nhập nhằng hoặc là thông tin hiểu
biết về các đối tượng không đủ hoặc không chính xác.
- Cho phép phân loại các lớp quan niệm chèn lấp lên nhau.
1.2. Các phép toán về tập mờ
1.2.1. Phép phủ định
* Định nghĩa 1.1: Hàm n: [0, 1]→[0, 1] không tăng thỏa mãn các điều kiện n(0) =
1, n(1) = 0 gọi là hàm phủ định (negation-hay là phép phủ định).
* Định nghĩa 1.2:
a) Hàm phủ định n là chặt nếu nó là hàm liên tục và giảm chặt.
b) Hàm phủ định n là mạnh nếu nó là chặt và thỏa mãn n(n(x)) = x, ꢁxꢂ[0,1]
* Ví dụ 1:
- Hàm phủ định thường dùng n(x) = 1-x. Đây là hàm phủ định mạnh
- Hàm n(x) = 1-x2. Đây là một phủ định chặt nhưng không mạnh.
1− x
- Họ phủ định (Sugeno) Nλ (x) =
, λ > −1. Với họ Sugeno này ta có
1+ λx
mệnh đề sau:
* Mệnh đề 1.3: Với mỗi λ > −1, Nλ (x) là một phủ định mạnh.
5
* Chứng minh:
Thật vậy, do 1 +λ>0 với x1 < x2, λx1 + x1 < λx2 + x2 . Điều này tương đương
với Nλ (x1) > Nλ (x2).
(1 + λx) − (1 − x)
(1 + λx) + λ(1 − x)
Hơn nữa, Nλ (Nλ (x)) =
= x với mỗi 0 ≤ x ≤1.
Để thuận lợi ta cần thêm định nghĩa sau:
Một cách định nghĩa phần bù của một tập mờ: Cho Ω là không gian nền, một
tập mờ A trên Ω tương ứng với hàm thuộc A: Ωꢃꢄ0,1ꢅ.
* Định nghĩa 1.4: Cho n là hàm phủ định, phần bù AC của tập mờ A là một tập mờ
với hàm thuộc cho bởi AC (a) = n(A(a)), với mỗi aꢂΩ.
Rõ ràng định nghĩa phần bù cho trong phần 1.1 là trường hợp riêng khi n(x)
là hàm phủ định thường dùng.
1.2.2. T - chuẩn
1.2.2.1. Phép hội
Phép hội (vẫn quen gọi là phép AND - Conjunction) là một trong mấy phép
toán logic cơ bản nhất, nó cũng là cơ sở để định nghĩa phép giao của hai tập mờ.
Phép hội cần thoả mãn mãn các tiên đề sau:
C0: v(P1 AND P2) chỉ phụ thuộc vào v(P1) và v(P2).
C1: Nếu v(P1) =1 thì v(P1 AND P2) = v(P2) với mọi mệnh đề P2.
C2: Giao hoán v(P1 AND P2) =v(P2 AND P1).
C3: v(P1) ≤ v(P2) thì v(P1 AND P3) ≤ v(P2 AND P3), với mọi mệnh đề P3.
C4: Kết hợp: v(P1 AND (P1 AND P3)) = v((P2 AND P2) AND P3).
Nếu diễn đạt phép hội mờ (fuzzy conjunction) như một hàm T: [0, 1] → [0,
1], thì chúng ta có thể cần tới hàm sau:
* Định nghĩa 1.5:
Hàm T: [0, 1]2 → [0, 1] là một t - chuẩn (t-norm), khi và chỉ khi thoả các
điều kiện sau:
6
C5: T(1, x) = x với ∀ x ∈ [0, 1].
C6: T có tính giao hoán, tức là T(x, y) = T(y, x), với ∀ x, y ∈ [0, 1]
C7: T không giảm theo nghĩa T(x, y) ≤ T(u, v), với ∀ x ≤ u, y ≤ v
C8: T có tính kết hợp, tức làT(x, T(y, z)) = T(T(x, y), z), với ∀ 0≤ x, y, z ≤1.
Từ các tiên đề trên chúng ta suy ra ngay T(0, x) = 0. Hơn nữa, tiên đề C8
đảm bảo tính thác triển duy nhất cho hàm nhiều biến.
1.2.2.2 Một số t - chuẩn thông dụng
1) T - chuẩn yếu nhất (drastic product)
min{x, y} khi max{x, y} =1
⎧
⎨
⎩
⎫
Z(x, y) = T0(x, y) =
⎬
⎭
0
khi max{x, y}<1
2) T - chuẩn LukasiewiczTL (x, y) = max(0, x+y-1)
xy
3) T2(x, y)=
2 − (x + y − xy)
4) Dạng tích TP (x, y) = x.y
xy
5) T4(x, y) =
x + y − xy
6) Dạng min (Zadeh, 1965) TM(x, y) = min(x, y)
7) Dạng Min Nilpotent (Fordor)
min{x, y} khi x + y >1
⎧
⎨
⎩
⎫
TN(x, y) = min0(x, y) =
⎬
⎭
0
khi x + y ≤1
* Định lý 1.6:
Với T là một t - chuẩn bất kỳ thì bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi x, y
∈[0, 1]
T0(x, y) ≤ T(x, y) ≤ TM(x, y)
T0 ≤ TL ≤ T2 ≤ TP ≤ T4 ≤ TN ≤ TM
Phần chứng minh các định lý xem trong tài liệu dẫn [7]
7
* Định nghĩa 1.7: Cho T là t - chuẩn. Khi ấy
a) T gọi là liên tục nếu T là hàm liên tục trên [0, 1]2.
b) T là Archimed nếu T(x, x) < x, với ∀ x∈ (0, 1).
c) T gọi là chặt nếu T là hàm tăng chặt trên [0, 1]2.
* Ví dụ:
1) T2 (x, y) =
xy
là Archimed vì: T2(a, a) = a2/(2 - (2a - a2)).
2 − (x + y − xy)
a2
Do a2 - 2a + 2 = (a - 1)2 + 1 > 1 ⇒
< a2 ≤ a
2 − (2a − a2)
Vậy T2(a, a) < a, với ∀ a ∈(0, 1).
2) TP(x, y) = xy là chặt vì 0 ≤ x1 < x2, 0 ≤ y1 < y2, ta có x1y1 < x2y2.
3) TM(x, y) = min(x, y) là một hàm liên tục trên [0, 1]2, nên t - chuẩn T là
liên tục. Hơn thế nữa, ta luôn có TM(x, x) = min(x, x) = x.
1.2.2.3 Đồ thị của một số hàm t - chuẩn:
min{x, y} khi max{x, y} =1
⎧
⎨
⎩
⎫
T0(x, y)=
⎬
⎭
0
khi max{x, y}<1
Hình 1.2: Đồ thị t-chuẩn yếu nhất T0
TL(x, y) = max(0, x+y-1)
Hình 1.2: Đồ thị t-chuẩn Lukasiewiez
8
xy
T2(x, y) =
.
2 − (x + y − xy)
Hình 1.3: Đồ thị t-chuẩn T2
TP(x, y) = xy
Hình 1.4: Đồ thị t-chuẩn t(x,y) = x*y
TM(x, y) = min(x, y)
Hình 1.5: Đồ thị t-chuẩn min
min{x, y} khi x + y >1
⎧
⎨
⎩
⎫
TN(x, y)=
⎬
⎭
0
khi x + y ≤1
Hình 1.5: Đồ thị t-chuẩn Min-Nilpotent
9
xy
T4(x, y) =
x + y − xy
Hình 1.6: Đồ thị t-chuẩn T4
1.2.2.4. Định nghĩa tổng quát phép giao của 2 tập mờ.
Cho hai tập mờ A, B trên cùng không gian nền Ω với hàm thuộc tương ứng
là A(x), B(x). Cho T là một t - chuẩn.
* Định nghĩa 1.8:
Ứng với t - chuẩn T, tập giao của hai tập mờ A, B là một tập mờ (A∩TB)
trên X với hàm thuộc cho bởi: (A∩TB)(x) = T(A(x), B(x)), với ∀x∈X
Việc lựa chọn phép giao, tương ứng với t - chuẩn T nào tuỳ thuộc vào bài
toán được quan tâm.
* Ví dụ: Hamacher(1978) đề nghị dùng
A(a).B(a)
(A ∩p B)(a) =
p + (1− p)(A(a) + B(a) − A(a).B(a))
với p ≥ 0, với mỗi a ∈ Ω,
còn Yager (1980) xét phép giao hai tập mờ A, B với hàm thuộc cho bởi
(A ∩p B)(a)= 1 - min{ 1, ((1- A(a))p +(1- B(a))p) 1/p }, p≥ 1, với mỗi a ∈[0, 1].
Cùng thời, Dubois và Prade cũng đề nghị một họ toán tử phụ thuộc tham số t,
đó là phép giao (A ∩tB) với hàm thuộc
(A∩t B)(a)=A(a).B(a)/ max{ A(a), B(a), t }, với 0≤ t≤1, với mỗi a∈[0, 1].
* Ví dụ: Cho U là không gian nền: U = [0, 120] - thời gian sống;
A = {Những người ở tuổi trung niên};
B = {Những người ở tuổi thanh niên}
10
Khi đó giao của hai tập mờ A và B với T(x, y) = min(x, y) và T(x, y) = xy
chúng được biểu diễn trên hình vẽ như sau:
Hình 1.7: Giao của 2 tập mờ dạng tích
Hình 1.8: Giao của 2 tập mờ dạng min
1.2.3. T - đối chuẩn
1.2.3.1. Phép tuyển
Giống như phép hội, phép tuyển hay toán tử logic OR thông thường cần thỏa
mãn các tiên đề sau:
D0: v(P1 OR P2), chỉ phụ thuộc vào v(P1) và v(P2).
D1: Nếu v(P1) = 0, thì v(P1 OR P2) = v(P2), với mỗi mệnh đề P2.
D2: Giao hoán v(P1 OR P2) = v(P2 OR P1).
D3: Nếu v(P1) ≤ v(P2), thì v(P1 OR P3) ≤ v(P2 OR P3), với bất kỳ P3.
D4: Kết hợp v(P1 OR(P2 OR P3)) = v((P1 OR P2) OR P3).
Khi ấy ta có thể nghĩ tới các phép tuyển được định nghĩa bằng con đường
tiên đề như sau:
* Định nghĩa 1.9:
11
Hàm S: [0, 1]2 → [0, 1] gọi là một hàm tuyển (OR suy rộng) hay là t - đối
chuẩn (t-conorm) nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau:
D5: S(0, x) = x, với ∀x ∈ [0, 1].
D6: S có tính chất giao hoán: S(x, y) = S(y, x), với ∀x, y ∈ [0, 1].
D7: S không giảm: S(x, y) ≤ S(u, v) với ∀ 0 ≤ x ≤ u ≤ 1; 0 ≤ y ≤ v ≤ 1.
D8: S có tính kết hợp: S(x, S(y, z)) = S(S(x, y), z), với ∀x, y ∈ [0, 1].
Từ định nghĩa ta thấy: S(0, 1) ≤ S(x, 1) ⇔ 1 ≤ S(x, 1) ≤ 1 ⇒ S(x, 1) = 1.
1.2.3.2. Một số hàm t - đối chuẩn thông dụng
Chọn phép phủ định n(x) = 1- x ta có các hàm t - đối chuẩn thông dụng như
sau:
1) SM(x, y) = max (x, y).
2) SP(x, y) = x + y - xy.
x + y − 2xy
3) S2(x, y) =
.
1− xy
x + y
1+ xy
4) S4(x, y) =
.
5) SL(x, y) = min(1, x+y).
max{x, y} khi (x + y) <1
⎧
⎨
⎩
⎫
6) SN(x, y) = max1(x, y) =
⎬
⎭
0
khi (x + y) ≥1
max{x, y} khi min(x, y) = 0
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
7) S0(x, y) =
0
khi min(x, y) > 0
* Định lý 1.10:
Với S là một t - đối chuẩn bất kỳ thì bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi x,
y ∈ [0, 1].
a) SM(x, y) ≤ S(x, y) ≤ S0(x, y).
b) SM ≤ SP ≤ S2 ≤ SL ≤ S4 ≤ S0
12
c) SM ≤ S2 ≤ SL ≤ S4 ≤ SN ≤ S0
Phần chứng minh các định lý xem trong tài liệu dẫn [2, 6]
* Chú ý: SP và SN không so sánh được với nhau, bởi vì khi x + y ≤ 1 ta có:
SN(x, y) = max(x, y) ≤ x + y - xy = SP(x, y).
Khi x + y > 1 ta có: SN(x, y) =1 > x + y - xy = SP(x, y).
* Định nghĩa 1.11:
Cho S là t - đối chuẩn. Khi ấy:
S gọi là liên tục nếu S là hàm liên tục trên [0, 1]2.
Hàm S gọi là Archimed nếu S(x, x) > x với ∀ 0 < x < 1.
S gọi là chặt nếu S là hàm tăng trên [0, 1]2
* Ví dụ:
- SP(x, y) = x + y - xy, là chặt vì: Giả sử x1 < x2, ta có SP(x1, y) = x1 + y - x1y
< x2 + y - x2y = SP(x2, y), với ∀y∈(0, 1). Mặt khác do S có tính chất giao hoán nên
ta có SP(x1, y1) < SP(x2, y2), với mọi 0 < x1 < x2 < 1; 0< y1 < y2 < 1.
- SM(x, y) = max(x, y) là một hàm liên tục trên [0, 1]2, nên t - đối chuẩn S là
liên tục. Hơn thế nữa, ta luôn có SM(x, x) = max(x, x) = x.
- SL(x, y) = min{1, x + y} là Archimed vì
SL(x, x) = min(1, x + x) = min(1, 2x) > x
1.2.3.3. Đồ thị của một số hàm t - đối chuẩn
max{x, y} khi (x + y) <1
⎧
⎨
⎩
⎫
SN(x, y)=
⎬
⎭
0
khi (x + y) ≥1
Hình 1.8: Đồ thị hàm t-đối chuẩn SN
13
SM(x, y) = max (x, y)
Hình 1.9: Đồ thị T-đối chuẩn SM
SP(x, y) = x + y - xy
Hình 1.10: Đồ thị T-đối chuẩn SP
x + y − 2xy
S2(x, y)=
1− xy
Hình 1.11: Đồ thị T-đối chuẩn S2
x + y
1+ xy
S4(x, y) =
Hình 1.13: Đồ thị T-đối chuẩn S4
14
SL(x, y) = min(1, x+y)
Hình 1.14: Đồ thị T-đối chuẩn SL
max{x, y} khi min(x, y) = 0
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
S0(x, y)=
0
khi min(x, y) > 0
Hình 1.15: Đồ thị T-đối chuẩn S0
1.2.3.4. Định nghĩa tổng quát phép hợp của 2 tập mờ
* Định nghĩa 1.12:
Cho A và B là 2 tập mờ trên không gian nền Ω, với hàm thuộc A(x), B(x)
tương ứng. Cho S là một t - đối chuẩn. Phép hợp (A∪SB) là một tập mờ trên X với
hàm thuộc cho bởi biểu thức:
(A∪SB)(x) = S(A(x), B(x)), với ∀x ∈X.
Việc lựa chọn phép hợp, tương ứng với t - đối chuẩn S nào tuỳ thuộc vào bài
toán ta quan tâm.
* Ví dụ:
Hamacher, 1978, đã cho họ phép hợp hai tập mờ với hàm thuộc theo tham số
q,
(q−)A(a).B(a) + A(a) + B(a)
(A ∪q B)(a) =
với q≥ -1, a ∈ Ω
1+ a(A(a).B(a)
15
Còn họ phép hợp (A∪p B) tương ứng của Yager cho bởi hàm thuộc với tham
số p,
(A ∪p B)(a)=min {1, (A(a)p+ B(a)p) 1/p}, với p≥ 1, a ∈ Ω.
Tương tự, họ phép hợp do Dubois và Prade đề nghị với các hàm thuộc với
tham số t, có dạng:
A(a) + B(a) − A(a).B(a) − min{A(a),B(a),(1− t)}
max{(1− A(a)),(1− B(a)),t}
(A ∪t B)(a) =
với t ∈[0, 1], a∈Ω.
* Ví dụ: Cho U là không gian nền: U = [0, 120] là thời gian sống.
A={Những người ở tuổi trung niên}; B ={Những người ở tuổi thanh niên}.
Khi đó hợp của hai tập mờ A, B với T(x, y) = max(x, y) và T(x, y)= max(1,
x+y). Biểu diễn trên hình vẽ như sau:
Hình 1.16: Hợp của hai tập mờ dạng Max
Hình 1.17: Hợp của hai tập mờ dạng Lukasewiez
1.3. Một số vấn đề liên quan của các toán tử trong Logic Mờ
16
1.3.1. Phép đối ngẫu
Trong logic cổ điển, ta có thể đưa công thức của logic mệnh đề về dạng chỉ
chứa các phép toán ⎤, ∧, ∨. Trong logic mờ cũng vậy, ta có thể đưa các công thức
về dạng chỉ chứa: n, S, T.
* Định nghĩa 1.13:
Giả sử N(P, Q, R,...) là các công thức chỉ chứa các phép toán n, S, T. Nếu
trong N(P, Q, R,...), ta thay S, T tương ứng bởi T, S thì công thức mới nhận được
sau phép thay thế đó gọi là công thức đối ngẫu của công thức N(P, Q, R,...). Kí hiệu
bởi N*(P, Q, R,...). Phép biến đổi từ công thức N thành công thức N* gọi là phép
đối ngẫu.
* Ví dụ:
- Công thức đối ngẫu của S(x, y) là T(x, y).
- Công thức đối ngẫu của công thức n(S(T(x, y))) là n(T(S(x, y))).
1.3.2. Quan hệ giữa t - chuẩn và t - đối chuẩn.
Giữa t - chuẩn và t - đối chuẩn ta có thể biểu diễn thông qua nhau theo định
lý sau:
* Định lý 1.14: Cho n là phép phủ định mạnh, S là một t - đối chuẩn. Khi đó hàm T
xác định trên [0, 1]2 bằng biểu thức:
T(x, y) = n(S(n(x), n(y))), với ∀ 0 ≤ x, y ≤ 1 là một t - chuẩn.
Tương tự, chúng ta có định lí sau:
* Định lý 1.15: Cho n là phép phủ định mạnh, T là một t- chuẩn, khi ấy hàm S xác
định trên [0, 1]2 bằng biểu thức:
S(x, y) = n(T(n(x), n(y))), với ∀ 0 ≤ x, y ≤ 1là một t - đối chuẩn.
Dùng hai định lí trên chúng ta có thể chọn nhiều cặp (t - chuẩn, t - đối chuẩn)
đối ngẫu tương ứng.
Sau đây là mấy cặp đối ngẫu:
Chọn n(x) = 1 - x, chúng ta có:
17
T(x, y)
min(x, y)
S(x, y)
max(x, y)
x.y
x + y - x.y
max{x + y - 1, 0}
min0(x, y)=
min{x + y, 1}
max1(x, y) =
min{x, y} víi (x + y) >1
max{x, y} víi (x + y) <1
⎧
⎨
⎩
⎫
⎧
⎫
⎬
⎭
⎨
⎩
⎬
⎭
0
víi (x + y) ≤1
0
víi (x + y) ≥1
Z(x, y)
Z’(x, y) =
min{x, y} víi max(x, y) =1
max{x, y} víi min(x, y) = 0
⎧
⎨
⎩
⎫
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
=
⎬
⎭
0
víi max(x, y) <1
0
víi min(x, y) > 0
Bảng 1.1 : Các cặp đối ngẫu với n(x) = 1-x
1.3.3. Một số qui tắc với phép hội và phép tuyển
Trong lí thuyết tập mờ và suy luận với logic mờ, một số tính chất trong lí
thuyết tập hợp theo nghĩa thông thường không còn đúng nữa. Chẳng hạn trong lí
thuyết tập hợp, với bất kỳ tập rõ A ⊂ X, thì ta có:
A ∩ AC = ∅;A ∪ AC = X.
Nhưng sang tập mờ thì hai tính chất trên không còn đúng nữa.
Cho T là t - chuẩn, S là t - đối chuẩn, n là phép phủ định. Ta có một số tính
chất sau:
- Tính luỹ đẳng (idempotency):
* Định nghĩa 1.16:
Chúng ta nói T là luỹ đẳng (idempotency) nếu T(x, x) = x, với ∀x∈[0, 1], và
S là luỹ đẳng nếu S(x, x) = x, với ∀x ∈ [0, 1].
* Mệnh đề 1.17:
T là luỹ đẳng khi và chỉ khi T(x, y) = min(x, y), với∀x, y∈[0, 1], và cũng nói
S là luỹ đẳng khi và chỉ khi S(x, y) = max(x, y), với ∀x, y∈[0, 1].
18
- Tính nuốt (absorption):
* Định nghĩa 1.18:
Có hai dạng định nghĩa nuốt suy rộng từ lí thuyết tập hợp:
T(S(x, y), x) = x, với ∀x, y∈[0, 1].
(a)
(b)
S(T(x, y), x) = x, với ∀x, y∈[0, 1].
* Mệnh đề 1.19:
(a) đúng khi và chỉ khi T(x, y) = min(x, y), với ∀x, y∈[0, 1],
(b) đúng khi và chỉ khi S(x, y) = max(x, y), với ∀x, y∈[0, 1].
- Tính phân phối (distributivity):
* Định nghĩa 1.20:
Có hai biểu thức xác định tính phân phối:
S(x, T(y, z)) = T(S(x, y), S(x, z)), với ∀x, y, z ∈ [0, 1].
T(x, S(y, z)) =S(T(x, y), T(x, z)), với ∀x, y, z ∈ [0, 1].
* Mệnh đề 1.21:
(c)
(d)
(c) đúng khi và chỉ khi T(x, y) = min(x, y), với ∀x, y ∈ [0, 1],
(d) đúng khi và chỉ khi S(x, y) = max(x, y), với ∀x, y∈ [0, 1].
- Luật De Morgan.
Luật De Morgan trong lí thuyết tập hợp:
(A ∩ B)C = A C∪ B C
(A ∪ B) C = A C ∩ B C
Trong logic mờ luật De Morgan được suy rông:
* Định nghĩa 1.22:
Cho T là t - chuẩn, S là t - đối chuẩn, n là phép phủ định chặt. Ta nói bộ ba
(T, S, n) là một bộ ba De Morgan nếu: n(S(x, y)) = T(n(x), ny).
Ta nói bộ ba là liên tục nếu S, T là hai hàm liên tục.
19
1.4. Phép kéo theo
1.4.1. Định nghĩa phép kéo theo
Cho đến bây giờ đã có khá nhiều nghiên cứu về phép kéo theo (implication).
Điều đó cũng tự nhiên vì đây là công đoạn chốt nhất của quá trình suy diễn trong
mọi lập luận xấp xỉ, bao gồm cả suy luận mờ.
Phép kéo theo được xét như một mối quan hệ, một toán tử logic. Các tiên đề
cho hàm v(P1 ⇒ P2):
I0: v(P1 ⇒ P2) chỉ phụ thuộc vào giá trị v(P1), v(P2).
I1: Nếu v(P1) ≤ v(P3) thì v(P1 ⇒ P2) ≥ v(P3 ⇒ P2), với mọi mệnh đề P2.
I2: Nếu v(P2) ≤ v(P3) thì v(P1 ⇒ P2) ≤ v(P1 ⇒ P3), với mọi mệnh đề P1.
I3: Nếu v(P1) = 0 thì v(P1 ⇒ P) = 1, với mỗi mệnh đề P.
I4: Nếu v(P1) = 1 thì v(P ⇒ P1) = 1, với mỗi mệnh đề P.
I5: Nếu v(P1) = 1 và v(P2) = 0 thì v(P ⇒ P1) = 0.
Tính hợp lí của các tiên đề này chủ yếu dựa vào logic cổ điển và những tư
duy trực tiếp về phép suy diễn. Từ tiên đề I0 ta khẳng định sự tồn tại của hàm I(x,
y) xác định trên [0, 1]2, với giá trị chân lí qua biểu thức sau:
v(P1 ⇒ P2) = I(v(P1), v(P2)).
* Định nghĩa 1.23:
Phép kéo theo là một hàm số I: [0, 1]2 → [0, 1], thoả mãn các điều kiện sau:
I6: Nếu x ≤ z thì I(x, y) ≥ I(z, y), với ∀y∈[0, 1].
I7: Nếu y ≤ u thì I(x, y) ≤ I(x, u), với ∀x∈[0, 1].
I8: I(0, x) =1, với ∀x∈[0, 1].
I9: I(x, 1) =1, với ∀x∈[0, 1].
I10: I(1, 0) = 0.
Tiếp tục, chúng ta xem xét thêm một số tính chất khác của phép kéo theo,
những tính chất này nhận được nhờ những bài báo của Dubois và Prade:
20
I11: I(1, x) = x, với ∀x∈[0, 1].
I12: I(x, I(y, z)) = I(y, I(x, z)).
Đây là qui tắc đổi chỗ, cơ sở trên sự tương đương giữa hai mệnh đề “if P1
then (if P2 then P3)” và “if P2 then (if P1 then P3)”.
I13: x ≤ y nếu và chỉ nếu I(x, y) =1 (phép kéo theo xác lập một thứ tự).
I14: I(x, 0) = N(x). (là một phép phủ định mạnh).
Như vậy I14 phản ánh mệnh đề sau từ logic cổ điển (P ⇒ Q) =⎤P, nếu v(Q) =
0 (nếu Q là sai).
I15: I(x, y) ≥ y với ∀x, y.
I16: I(x, x) = 1, với ∀x.
I17: I(x, y) = I(N(y), N(x)). Điều kiện này phản ánh phép suy luận ngược
trong logic cổ điển hai giá trị: (P ⇒ Q) = (⎤Q ⇒ ⎤P). Đây là điều kiện mạnh.
I18: I(x, y), là hàm liên tục trên [0, 1].
Để tìm hiểu thêm các điều kiện này người ta đã đưa ra định lý sau:
* Định lý 1.24:
Mỗi hàm số I: [0, 1]2 → [0, 1] thoả mãn các điều kiện I7, I12, I13, thì hàm I
sẽ thoả mãn các điều kiện I6, I8, I9, I10, I11, I15, I16.
1.4.2. Một số dạng hàm kéo theo cụ thể
Cho T là t - chuẩn, S là t - đối chuẩn, n là phép phủ định mạnh
1.4.2.1. S - Implication
* Định nghĩa 1.25: Hàm IS(x, y) xác định trên [0, 1]2 bằng biểu thức:
IS(x, y) = S(n(x), y)
Rõ ràng ẩn ý sau định nghĩa này là công thức từ logic cổ điển
(P⇒Q) ⇔ (⎤P∨Q)
* Định lý 1.26:
21
Với bất kỳ t - đối chuẩn S và phép phủ định mạnh n nào, IS được định nghĩa
như trên là một phép kéo theo.
* Chứng minh: (Ta kiểm chứng IS từng tiên đề của định nghĩa 1.23).
a) Tiên đề I6: Cho x ≤ z. Vì IS(x, y) = S(n(x), y). Ta chỉ xét trường hợp x < z,
khi ấy n(x) > n(z). Do t - đối chuẩn không giảm theo hai biến
IS(x, y) = S(n(x), y) ≥ S(n(z), y) = IS(z, y).
b) Tiên đề I7: Cho y ≤ t, khi đó IS(x, y) = S(n(x), y) ≤ S(n(x), t) = IS(x, t), với
∀x
c) Tiên đề I8: IS(0, x) = S(n(0), x) = S(1, x) ≥ max(1, x) =1, vậy IS(0, x) =1,
với ∀x
d) Tiên đề I9: IS(x, 1) = S(n(x), 1) ≥ max(n(x), 1) =1, vậy IS(x, 1) =1, với ∀x.
e) Tiên đề I10: IS(1, 0) = S(n(1), 0) = S(0, 0) = 0, vậy IS(1, 0) = 0,
IS là một phép kéo theo của logic mờ thoả mãn định nghĩa 1.23.
1.4.2.2. R - Implication
* Định nghĩa 1.27: Cho T là một t - chuẩn, hàm IT(x, y) xác định trên [0, 1]2 bằng
biểu thức:
IT(x, y) = sup{u:T(x, u) ≤ y }
* Định lý 1.28:
Với bất kỳ t - chuẩn T nào, IT được định nghĩa như trên là một phép kéo
theo.
* Chứng minh: (ta kiểm chứng IT từng tiên đề của định nghĩa 1.23)
a) Tiên đề I6: Cho x ≤ z. Vì IT(x, y) = sup{u: T(x, u) ≤ y}. Do t - chuẩn T
không giảm theo hai biến, nên T(x, u) ≤ T(z, u) và do vậy:
{u: T(z, u) ≤ y}⊆{u: T(x, u) ≤ y}.
sup{u: T(z, u) ≤ y} ≤ sup{u: T(x, u) ≤ y}.
Hay IT(z, y) ≤ IT(x, y), với mọi y. Đó chính là điều kiện I6.
b) Tiên đề I7: cho y ≤ t, khi đó với mỗi cặp (x, u) ta có T(x, u) ≤ y ≤ t.
22
{u: T(x, u) ≤ y}⊆{u: T(x, u) ≤ t}.
sup{u: T(x, u) ≤ y} ≤ sup{u: T(x, u) ≤ t}.
Hay IT(x, y) ≤ IT(x, t), với mọi x. Đó chính là điều kiện I7.
c) Tiên đề I8: T(0, x) = x với bất kỳ u nào ta có 0 ≤ u ≤ 1. Do vậy T(0, u) ≤ x,
suy ra sup{u: T(0, u) ≤ x} = 1, với ∀x. Hay IT(0, x) = 1. Đó chính là điều kiện I8.
d) Tiên đề I9: IT(x, 1) = 1 là hiển nhiên với ∀x.
e) Tiên đề I10: Do IT(1, 0) = sup{u: T(1, u) ≤ 0}, điều này dẫn tới T(1, u) =
0. Sử dụng tính chất T(1, u) = u của t - chuẩn, chỉ có u = 0 thoả mãn đẳng thức, tức
là T(1, 0) = 0. Vậy I10 thoả mãn.
Vậy IT là một phép kéo theo của logic mờ thoả mãn định nghĩa 1.23.
Như đã nhận xét từ đầu, có rất nhiều con đường muốn xác định phép kéo
theo. Phép kéo theo sau đây, nói chung không thoả mãn tiên đề 1, nhưng được
nhiều tác giả sử dụng, ý chính của phép kéo theo này bắt nguồn từ biểu diễn phép P
⇒ Q theo lý thuyết tập hợp.
Nếu P, Q biểu diễn dưới dạng tập hợp trong cùng một không gian nền thì (P
⇒ Q) = (⎤P ∨ (P ∧ Q)).
Sử dụng T là t - chuẩn, S là t - đối chuẩn, n là phép phủ định, thì có thể nghĩ
tới dạng: I(x, y) = S (T(x, y), n(x))
Lập luận tương tự khi cho P và Q trên các không gian nền khác nhau cũng có
thể dẫn tới cùng dạng hàm I(x, y) này.
1.4.2.3. QL - Implication
Như đã nhận xét từ đầu, có rất nhiều con đường muốn xác định phép kéo
theo. Phép kéo theo sau đây nói chung không thỏa mãn tiên đề thứ nhất nhưng
được nhiều tác giả sử dụng, ý chính của phép kéo theo này bắt nguồn từ biểu diễn
phép P⇒ Q theo lí thuyết tập hợp.
Nếu P, Q là các mệnh đề trong logic cổ điển hay ta biểu diễn dưới dạng tập
hợp trong cùng một không gian nền thì (P⇒Q) = (¬P∨(P∧Q).
Sử dụng T là t - chuẩn, S là t - đối chuẩn, n là phép phủ định, thì có thể nghĩ
tới dạng: I(x, y)=S(T(x, y), n(x))
23
* Định nghĩa 1.29: Cho (T, S, n) là một bộ ba De Morgan với n là phép phủ định
mạnh, phép kéo theo thứ ba IQL(x, y) (từ Logic lượng tử - Quantum Logic) xác định
trên [0, 1]2 bằng biểu thức:
IQL(x, y)=S(T(x, y), n(x)), ∀0 ≤ x, y ≤1.
* Ví dụ: Chọn T(x, y)= xy, S(x, y) = x+y-xy, ta được:
IQL(x, y) = S(xy, (1-x)) = xy+(1-x)-xy(1-x).
Từ đó IQL(x, y) = 1-x+x2y. Ta có hình vẽ sau:
Hình 1.18: Đồ thị IQL= 1-x+x2y
Chọn n(x)-1-n, T x, y =max x+ y−1,0 ; S x, y =min x+ y, 1 có:
(
{
IQL x, y = S max x+ y−1, 0 , 1−x
(
(
{
= min max x+ y−1, 0 + 1−x ,1
) (
(
)
{
}
= min max y, 1−x , 1
(
)
{
}
Do
y ≤1 nên luôn có: max(y,1- x) ≤1. Khi đó ta được
IQL x, y =max y, 1−x . Hình vẽ như sau:
(
(
1
0.5
0
1
0.8
0.6
0
0.4
0.2
0.4
0.2
0.6
0.8
y
0
1
Hình 1.19: Đồ thị IQL= max(y,1-x)
Tải về để xem bản đầy đủ
84 trang
15/04/2025
130
Bạn đang xem 30 trang mẫu của tài liệu "Luận văn Một số quy trình suy diễn trong hệ mờ", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
File đính kèm:
- luan_van_mot_so_quy_trinh_suy_dien_trong_he_mo.pdf
