Luận văn Tìm hiểu mật mã lượng tử

TRƯỜNG ………………….

KHOA……………………….

-----[\ [\-----

Báo cáo tốt nghiệp

Đề tài:

TÌM HIỂU MẬT MÃ LƯỢNG TỬ

LꢀI CꢁM ꢂN

Trꢀꢁc hꢂt em xin gꢃi lꢄi cꢅm ꢆn trân trꢇng Čꢂn TS. Hꢈ Vꢉn Hꢀꢆng, cùng PGS-

TS. ꢊoàn Vꢉn Ban, các thꢋy Čã tꢌn tình chꢍ bꢅo sꢃa chꢎa sai sót giúp em hoàn thành

khóa luꢌn này.

Em xin trân trꢇng cꢅm ꢆn các thꢋy cô giáo Trꢀꢄng ꢊꢏi hꢇc Công nghꢐ - ꢊꢏi hꢇc

Quꢑc gia Hà Nꢒi. Phong cách giꢅng dꢏy, sꢓ chꢍ bꢅo nhiꢐt tình cꢒng vꢁi nhꢎng kinh

nghiꢐm quý báu cꢔa thꢋy cô Čã thꢓc sꢓ Čem lꢏi cho em nhiꢕu kiꢂn thꢖc và cái nhìn mꢁi

mꢗ. Giúp em sau khi ra trꢀꢄng sꢘ tꢓ tin hꢆn trong công viꢐc, trong nghꢕ nghiꢐp mà mình

Čã chꢇn.

Xin chân thành cꢅm ꢆn tꢙt cꢅ chiꢂn hꢎu Čã cùng sát cánh trong suꢑt thꢄi gian

hꢇc tꢌp.

Hà Nꢒi, tháng 5 nꢉm 2010

Sinh viên

Phꢏm Trꢀꢄng Sinh

Mꢃ ꢄꢅU

Cùng vꢀi sꢁ phát triꢂn lꢀn mꢃnh cꢄa ngành mꢅt mã hꢆc, các nhà mꢅt mã hꢆc Čã

nghiên c u và Čꢇa ra mꢈt hꢉ mꢅt mã mꢀi mang tên “mꢅt mã lꢇꢊng tꢋ”. Mꢅt mã lꢇꢊng tꢋ

là hꢉ mꢅt mã dꢁa trên các tính chꢌt cꢄa cꢍ hꢆc lꢇꢊng tꢋ và không phꢎ thuꢈc vào bꢌt c sꢁ

tính toán nào, do Čó nó Čꢇꢊc cho là giꢏi pháp chꢐng lꢃi sꢁ tính toán lꢀn cꢄa máy tính

lꢇꢊng tꢋ. Mꢅt mã lꢇꢊng tꢋ Čã Čꢇꢊc ch ng minh có khꢏ nꢑng bꢏo mꢅt vô Čiꢒu kiꢉn. Trên

thꢓ giꢀi, Čã có rꢌt nhiꢒu nꢇꢀc Čang xây dꢁng mꢃng lꢇꢊng tꢋ nhꢇ Mꢔ, Anh,… ꢕ Viꢉt Nam

cꢖng Čã có nhiꢒu Čꢒ tài nghiên c u vꢒ mꢅt mã lꢇꢊng tꢋ nhꢇng do tính thꢗi sꢁ cꢄa nó, nên

tôi vꢘn nghiên c u vꢒ mꢅt mã lꢇꢊng tꢋ và chꢆn nó làm Čꢒ tài cho khóa luꢅn này.

Chꢆꢇng 1: M t mã lꢆꢈng tꢉ

Giꢀi thiꢉu sꢍ lꢇꢊc vꢒ mꢅt mã lꢇꢊng tꢋ, lꢙch sꢋ hình thành mꢅt mã lꢇꢊng tꢋ. Các lý

thuyꢓt vꢒ cꢍ hꢆc lꢇꢊng tꢋ, tính toán lꢇꢊng tꢋ, tꢚ Čó áp dꢎng nó vào mꢅt mã lꢇꢊng tꢋ.

Chꢆꢇng 2: Phân phꢊi khóa lꢆꢈng tꢉ

Giꢀi thiꢉu vꢒ phân phꢐi khóa lꢇꢊng tꢋ, tìm hiꢂu các giao th c trong phân phꢐi khóa

lꢇꢊng tꢋ. Ch ng minh khꢏ nꢑng an toàn vô Čiꢒu kiꢉn cꢄa các giao th c trong phân phꢐi

khóa lꢇꢊng tꢋ. Cách xác Čꢙnh giꢀi hꢃn lꢛi, các phꢇꢍng pháp “làm mꢙn khóa” và “tꢑng tính

bꢏo mꢅt”.

Chꢆꢇng 3: Thꢋc trꢌng công nghꢍ m t mã lꢆꢈng tꢉ, Čꢎ xuꢏt và xây dꢋng

chꢆꢇng trình mô phꢐng m t mã lꢆꢈng tꢉ

Giꢀi thiꢉu thꢁc trꢃng cꢄa công nghꢉ mꢅt mã lꢇꢊng tꢋ trong thꢁc tꢓ, các hꢇꢀng Či,

Čꢒ xuꢌt trong mꢅt mã lꢇꢊng tꢋ. Xây dꢁng chꢇꢍng trình mô phꢜng phân phꢐi khóa lꢇꢊng

tꢋ theo giao th c BB84.

MꢑC LꢑC

Chꢆꢇng 1. MꢒT MÃ LꢓꢔNG Tꢕ .......................................................................1

1.1

1.2

GI I THI!U V" M#T MÃ L$%NG T& ...................................................................... 1

LÝ THUY'T L$%NG T&............................................................................................. 3

Bit lꢇꢊng tꢋ.............................................................................................................. 3

(o lꢇꢗng lꢇꢊng tꢋ ................................................................................................... 5

Bꢌt Čꢙnh lꢇꢊng tꢋ.................................................................................................... 6

Liên kꢓt lꢇꢊng tꢋ ..................................................................................................... 7

(ꢙnh lý không thꢂ sao chép lꢇꢊng tꢋ....................................................................... 9

TÍNH TOÁN L$%NG T&.............................................................................................. 9

Mꢈt sꢐ ký hiꢉu toán hꢆc .......................................................................................... 9

Biꢓn Č)i bit lꢇꢊng tꢋ.............................................................................................. 10

Phép nhân trꢃng thái lꢇꢊng tꢋ ............................................................................... 10

(o lꢇꢗng lꢇꢊng tꢋ trên cꢍ s* toán hꢆc.................................................................. 11

Trꢃng thái Bell....................................................................................................... 12

Ch ng minh không thꢂ sao chép lꢇꢊng tꢋ............................................................. 15

C)ng lꢇꢊng tꢋ........................................................................................................ 16

TRUY"N THÔNG L$%NG T& .................................................................................. 18

MÃ HÓA SIÊU DÀY (+C.......................................................................................... 20

K'T CH$,NG............................................................................................................. 21

1.2.1

1.2.2

1.2.3

1.2.4

1.2.5

1.3

1.3.1

1.3.2

1.3.3

1.3.4

1.3.5

1.3.6

1.3.7

1.4

1.5

1.6

Chꢆꢇng 2. PHÂN PHꢖI KHÓA LꢓꢔNG Tꢕ ..................................................22

2.1

2.2

GI I THI!U V" PHÂN PH-I KHÓA L$%NG T&................................................... 22

CÁC GIAO TH.C PHÂN PH-I KHÓA L$%NG T& ............................................... 25

Giao th c BB84..................................................................................................... 25

2.2.1

2.2.1.1 Quy ꢇꢀc trong giao th c BB84 ......................................................................... 25

2.2.1.2 Phép Čo lꢇꢗng trong giao th c BB84............................................................... 25

2.2.1.3 Các bꢇꢀc thꢁc hiꢉn giao th c BB84.................................................................. 27

2.2.1.4 Khꢏ nꢑng tꢌn công cꢄa Nhân trong giao th c BB84 ......................................... 32

2.2.2

Giao th c B92........................................................................................................ 38

2.2.2.1 Các bꢇꢀc thꢁc hiꢉn giao th c B92 .................................................................... 40

2.2.2.2 Khꢏ nꢑng tꢌn công cꢄa Nhân trong giao th c B92............................................ 44

2.2.3

Giao th c EPR....................................................................................................... 47

2.2.3.1 Các bꢇꢀc thꢁc hiꢉn giao th c EPR.................................................................... 49

2.2.3.2 Khꢏ nꢑng tꢌn công cꢄa Nhân trong giao th c EPR ........................................... 50

2.2.4

2.2.5

Xác Čꢙnh hꢉ sꢐ giꢀi hꢃn lꢛi ε ................................................................................ 51

Làm mꢙn khóa và tꢑng tính bꢏo mꢅt ...................................................................... 51

2.2.5.1 Làm mꢙn khóa.................................................................................................... 52

2.2.5.2 Tꢑng tính bꢏo mꢅt.............................................................................................. 54

K'T CH$,NG............................................................................................................. 54

2.3

Chꢆꢇng 3. THꢗC TRꢘNG CÔNG NGHꢙ MꢒT MÃ LꢓꢔNG Tꢕ, XÂY

DꢗNG CHꢓꢂNG TRÌNH MÔ PHꢚNG MꢒT MÃ LꢓꢔNG Tꢕ VÀ ꢄꢛ

XUꢜT……………………………………………………………………………..55

3.1

TH/C TR0NG CÔNG NGH! M#T MÃ L$%NG T&.............................................. 55

3.2

CH$,NG TRÌNH MÔ PH1NG GIAO TH.C PHÂN PH-I KHÓA L$%NG T&... 57

Mꢎc Čích mô phꢜng............................................................................................... 57

Giao th c truyꢒn khóa lꢇꢊng tꢋ............................................................................. 58

Giꢀi thiꢉu chꢇꢍng trình ......................................................................................... 58

Kꢓt Luꢅn ................................................................................................................ 67

(" XU2T .NG D3NG C4A M#T MÃ L$%NG T&............................................... 67

3.2.1

3.2.2

3.2.3

3.2.4

3.3

K T LUꢒN.............................................................................................................68

A. K'T QU5 (0T ($%C.................................................................................................... 68

B. H$ NG PHÁT TRI6N .................................................................................................... 68

C. Ý NGH7A .......................................................................................................................... 69

Danh M!c Hình

Hình 1.1 Mô hình trao Č)i thông tin bí mꢅt

Hình 1.2 Mô hình trao Č)i thông tin bí mꢅt dꢁa trên cꢍ hꢆc lꢇꢊng tꢋ

Hình 1.3 Hai trꢃng thái cꢍ bꢏn cꢄa qubit

Hình 1.4 Hình c8u Bloch

Hình 1.5 Hai cꢍ s* quan trꢆng cꢄa qubit

Hình 1.6 Minh hꢆa Čꢙnh lý bꢌt Čꢙnh lꢇꢊng tꢋ

Hình 1.7 Sꢍ Č9 tꢃo c:p trꢃng thái Bell

Hình 1.8 C)ng lꢇꢊng tꢋ Hadamard

Hình 1.9 C)ng lꢇꢊng tꢋ Cnot

Hình 2.1 Mô hình phân phꢐi khóa

Hình 2.2 Mô hình phân phꢐi khóa lꢇꢊng tꢋ

Hình 2.3 Bꢏng chuyꢂn Č)i bit và qubit trong giao th c BB84

Hình 2.4 Mô hình giao th c BB84

Hình 2.5 Bꢏng giao ꢇꢀc trong giao th c B92

Hình 2.6 C:p Čôi không trꢁc chu;n mà An sꢋ dꢎng

Hình 2.7 Kꢓt quꢏ phép Čo lꢇꢗng cꢄa Bình

Hình 2.8 Sꢍ Č9 trꢃng thái cꢄa qubit

Hình 2.9 Bꢏng giao ꢇꢀc trong giao th c EPR

Hình 2.10

Sꢍ Č9 trꢃng thái cꢄa Bình khi An gꢋi qubit có trꢃng thái −

Sꢍ Č9 trꢃng thái cꢄa Bình khi An gꢋi qubit có trꢃng thái +

Hình 2.11

Hình 2.12 Bꢏng cꢍ s* dùng Čꢂ Čo lꢇꢗng hꢃt liên Čꢀi

Hình 2.13 Sꢍ Č9 thꢁc hiꢉn E91

Chꢆꢇng 1. MꢒT MÃ LꢓꢔNG Tꢕ

1.1 GI"I THIꢙU Vꢛ MꢒT MÃ LꢓꢔNG Tꢕ

Mꢅt mã lꢇꢊng tꢋ là công nghꢉ cho phép bꢏo mꢅt thông tin truyꢒn Či b<ng truyꢒn

thông quang, qua quang sꢊi cꢖng nhꢇ qua không gian[1] (FSO - Free Space Optical

communications). Nó cho phép thông tin Čꢇꢊc bꢏo mꢅt "tuyꢉt Čꢐi", không phꢎ thuꢈc vào

Čꢈ mꢃnh cꢄa máy tính, Čꢈ tꢐi tân cꢄa dꢎng cꢎ hay sꢁ xꢏo quyꢉt cꢄa hacker. Sꢁ bꢏo mꢅt

cꢄa mꢅt mã lꢇꢊng tꢋ b=t ngu9n tꢚ nh>ng quy luꢅt không thꢂ phá bꢜ cꢄa tꢁ nhiên mà * Čây

là các tính chꢌt cꢄa cꢍ hꢆc lꢇꢊng tꢋ, do Čó nó Čꢇꢊc xem nhꢇ là mꢈt sꢁ bꢏo vꢉ mꢃnh m?

nhꢌt có thꢂ cho d> liꢉu.

Ngu9n gꢐc cꢄa mꢅt mã lꢇꢊng tꢋ Čꢇꢊc Čꢇa ra b*i Stephen Weisner[11], gꢆi là

"Conjugate Coding" tꢚ Č8u nh>ng nꢑm 70. Sau Čó, Čꢇꢊc công bꢐ vào nꢑm 1983 trên tꢃp

chí Sigact News b*i Bennett và Brassard, nh>ng ngꢇꢗi Čã nghiên c u nh>ng ý tꢇ*ng cꢄa

Weisner và phát triꢂn chúng theo cách riêng cꢄa mình. Hꢆ cho ra "BB84", giao th c mꢅt

mã lꢇꢊng tꢋ Č8u tiên vào nꢑm 1984, nhꢇng mãi Čꢓn tꢅn nꢑm 1991, thí nghiꢉm Č8u tiên vꢒ

thꢂ th c này mꢀi Čꢇꢊc thꢁc hiꢉn thành công qua mꢈt Čꢇꢗng truyꢒn 32 cm. Nh>ng giao

thꢐng ngày nay Čã Čꢇꢊc thꢋ nghiꢉm thành công trên quang sꢊi * Čꢈ dài hàng trꢑm km.

Hình dꢇꢀi Čây mô tꢏ mꢈt giao th c cꢄa mꢅt mã, thông tin nhꢃy cꢏm có thꢂ Čꢇꢊc làm

rꢐi loꢃn b*i ngꢇꢗi gꢋi (An) thành mꢈt dꢃng thông tin mà ngꢇꢗi ngoài không thꢂ nhꢅn

biꢓt. (iꢒu này Čꢇꢊc thꢁc hiꢉn b*i mꢈt công th c toán hꢆc, gꢆi là thuꢅt toán mã hóa.

Ngꢇꢗi nhꢅn Čꢇꢊc (Bình) s? có thuꢅt toán giꢏi mã Čꢂ tìm lꢃi d> liꢉu ban Č8u.

Hình 1.1: Mô hình trao Čꢚi thông tin bí mꢌt

(ꢂ gꢋi thông tin mꢈt cách bí mꢅt, khóa giꢏi mã phꢏi Čꢇꢊc truyꢒn Či mꢈt cách bí mꢅt.

Nhꢇng khi ngꢇꢗi nhꢅn nhꢅn Čꢇꢊc mꢈt khóa thì làm thꢓ nào xác minh Čꢇꢊc khóa này là

- 1 -

thꢅt và nó Čꢇꢊc gi> bí mꢅt? Trꢇꢀc Čây, Čiꢒu này là không thꢂ. Mꢅt mã lꢇꢊng tꢋ giꢏi quyꢓt

vꢌn Čꢒ này! Nó cho phép ngꢇꢗi gꢋi và ngꢇꢗi nhꢅn xác minh tính bꢏo mꢅt cꢄa tꢚng khóa.

.ng dꢎng trꢁc tiꢓp nhꢌt cꢄa mꢅt mã lꢇꢊng tꢋ là quá trình truyꢒn khóa bí mꢅt. Tꢃi

sao không dùng Čꢇꢗng truyꢒn lꢇꢊng tꢋ này Čꢂ truyꢒn trꢁc tiꢓp thông tin c8n truyꢒn Či?

B*i vì lꢇꢊng thông tin trong mꢈt Čꢇꢗng truyꢒn lꢇꢊng tꢋ không nhiꢒu và tꢐc Čꢈ không cao.

Nhꢗ vào quá trình mã hóa mà sꢁ truyꢒn thông tin này có thꢂ Čꢇa Čꢓn sꢁ bꢏo mꢅt cao cho

Čꢇꢗng truyꢒn khác có tꢐc Čꢈ trao Č)i thông tin cao hꢍn rꢌt nhiꢒu.

Nguyên lí cꢄa sꢁ trao Č)i thông tin lꢇꢊng tꢋ này dꢁa vào sꢁ quan sát các trꢃng thái

lꢇꢊng tꢋ; nh>ng photon Čꢇꢊc truyꢒn Či Čꢇꢊc Č:t trong mꢈt trꢃng thái riêng biꢉt b*i ngꢇꢗi

gꢋi và sau Čó Čꢇꢊc quan sát b*i ngꢇꢗi nhꢅn. B*i theo thuyꢓt tꢇꢍng Čꢐi, nh>ng trꢃng thái

lꢇꢊng tꢋ liên hꢊp không thꢂ Čꢇꢊc quan sát cùng mꢈt lúc. Tùy theo cách quan sát, giá trꢙ

cꢄa hꢉ Čo Čꢇꢊc s? khác nhau, nhꢇng trong mꢈt hꢉ các trꢃng thái liên hꢊp duy nhꢌt; ví dꢎ

nhꢇ phân cꢁc cꢄa photon Čꢇꢊc mô tꢏ b*i mꢈt trong ba hꢉ khác nhau: phân cꢁc ph@ng,

phân cꢁc c8u hay phân cꢁc elip. Nhꢇ vꢅy, nꢓu ngꢇꢗi gꢋi và ngꢇꢗi nhꢅn không thꢜa thuꢅn

trꢇꢀc vꢒ hꢉ quan sát Čꢇꢊc sꢋ dꢎng, ngꢇꢗi nhꢅn có thꢂ tình cꢗ hꢄy thông tin cꢄa ngꢇꢗi

nhꢅn mà không nhꢅn Čꢇꢊc gì có ích.

Nhꢇ vꢅy, sꢁ tiꢓp cꢅn Čꢍn giꢏn nhꢌt vꢒ Čꢇꢗng truyꢒn lꢇꢊng tꢋ là: ngꢇꢗi gꢋi mã hóa

thông tin b*i các trꢃng thái lꢇꢊng tꢋ, ngꢇꢗi nhꢅn quan sát các trꢃng thái Čó, sau Čó nhꢗ

vào thꢜa thuꢅn tꢚ trꢇꢀc vꢒ hꢉ quan sát, ngꢇꢗi gꢋi và ngꢇꢗi nhꢅn trao Č)i thông tin mꢈt

cách Čúng Č=n.

Ta xét trꢇꢗng hꢊp mꢈt kênh truyꢒn bꢏo mꢅt thông thꢇꢗng và có "ngꢇꢗi tꢌn công *

gi>a" (man-in-the-middle attack). Trong trꢇꢗng hꢊp này, ngꢇꢗi nghe lén (Nhân) Čꢇꢊc cho

là có khꢏ nꢑng Čiꢂu khiꢂn kênh truyꢒn, có thꢂ Čꢇa thông tin vào và lꢌy thông tin ra không

có thiꢓu sót nào hay Čꢈ trA nào. Khi An cꢐ g=ng thiꢓt lꢅp khóa bí mꢅt cùng Bình, Nhân

tham gia vào và trꢏ lꢗi tin theo cꢏ hai hꢇꢀng, làm cho An và Bình tꢇ*ng r<ng hꢆ Čang nói

chuyꢉn vꢀi nhau. Khi khóa bí mꢅt Čꢇꢊc thiꢓt lꢅp, Nhân nhꢅn, sao chép và gꢋi lꢃi thông tin

Čꢂ Čꢏm bꢏo An và Bình nói chuyꢉn vꢀi nhau bình thꢇꢗng. Giꢏ sꢋ r<ng thꢗi gian xꢋ lí tín

hiꢉu là Čꢄ nhanh, Nhân có thꢂ nhꢅn Čꢇꢊc toàn bꢈ khóa bí mꢅt và do Čó nhꢅn Čꢇꢊc tꢌt cꢏ

thông tin Čꢇꢊc truyꢒn Či gi>a An và Bình vꢀi không mꢈt phát hiꢉn nào. Nhꢇng khi mꢅt

mã lꢇꢊng tꢋ Čꢇꢊc áp dꢎng trong các quy luꢅt lꢇꢊng tꢋ; trꢃng thái lꢇꢊng tꢋ cꢄa photon

không thꢂ Čꢇꢊc sao chép. Nhꢇ vꢅy, mꢈt cách tꢁ nhiên, khi Nhân cꢐ g=ng lꢌy thông tin mã

hóa b*i mꢈt photon, sꢁ nghe lén này s? gây lꢛi * phía Bình. (iꢒu này s? cho phép An và

- 2 -

Bình nhꢅn biꢓt Čꢇꢊc khi nào Čꢇꢗng truyꢒn cꢄa hꢆ bꢙ tác Čꢈng b*i ngꢇꢗi nghe lén th ba,

khi Čó hꢆ có thꢂ chuyꢂn qua kênh truyꢒn khác, hay Čꢍn giꢏn hꢍn là làm trA Čꢇꢗng truyꢒn

lꢃi vꢀi các khóa Čꢇꢊc thay Č)i liên tꢎc.

Hình 1.2: Mô hình trao Čꢚi thông tin bí mꢌt dꢓa trên cꢆ hꢇc lꢀꢛng tꢃ

Ngoài khꢏ nꢑng trao Č)i khóa nhꢇ các hꢉ mꢅt mã thông thꢇꢗng, mꢅt mã lꢇꢊng tꢋ

còn có khꢏ nꢑng phát hiꢉn sꢁ xuꢌt hiꢉn cꢄa bên th ba tham gia vào phiên truyꢒn khóa.

(ây là tính chꢌt n)i trꢈi so vꢀi các hꢉ mꢅt mã khác, cꢖng vì có tính chꢌt này hai bên trao

Č)i khóa dA dàng biꢓt Čꢇꢊc khóa sau khi trao Č)i có thꢁc sꢁ an toàn không.

1.2 LÝ THUY T LꢓꢔNG Tꢕ

1.2.1 Bit lꢇꢊng tꢋ

Mꢈt qubit (viꢓt t=t cꢄa quantum bit[7]) hay bit lꢇꢊng tꢋ là mꢈt Čꢍn vꢙ thông tin

lꢇꢊng tꢋ. Trong Čó miêu tꢏ mꢈt hꢉ cꢍ hꢆc lꢇꢊng tꢋ có hai trꢃng thái cꢍ bꢏn thꢇꢗng Čꢇꢊc

ký hiꢉu là 1 và 0 (Čꢆc là két 0 và két 1) ho:c 0 và 1 (Čꢆc là bra 0 và bra 1) tꢇꢍng

ng vꢀi hai trꢃng thái phân cꢁc th@ng dꢆc và phân cꢁc th@ng ngang cꢄa photon.

Hình 1.3: Hai trꢏng thái cꢆ bꢅn cꢔa qubit

- 3 -

Khác vꢀi mꢈt bit c) Čiꢂn thông thꢇꢗng chB nhꢅn mꢈt trong hai giá trꢙ 1 ho:c 0, mꢈt

trꢃng thái qubit thu8n túy là ch9ng chꢅp lꢇꢊng tꢋ tuyꢓn tính cꢄa hai trꢃng thái cꢍ bꢏn trên.

Nhꢇ vꢅy mꢈt qubit Čꢇꢊc biꢂu diAn:

ψ = α 0 + β 1

Trong Čó α và β Čꢇꢊc gꢆi là biên Čꢈ xác suꢌt và giá trꢙ chúng có thꢂ nhꢅn là sꢐ

ph c. (ꢂ Čꢍn giꢏn ngꢇꢗi ta thꢇꢗng biꢂu diAn trꢃng thái cꢄa qubit dꢇꢀi dang vector:

α

» ÿ

ψ = α 0 + β 1 =

[

α

β

]

ho:c ψ = α 0 + β 1 =

… Ÿ

β

⁄

Khi Čo lꢇꢗng ψ trong cꢍ s* cꢍ bꢏn chB cho ta 1 vꢀi xác suꢌt là α ²ho:c cho

0 vꢀi xác suꢌt là ϕ = α 0 + β 1 , do Čó ta có

α ²+ β ²= 1

Không gian trꢃng thái cꢄa bꢈ nhꢀ qubit có thꢂ miêu ta trên hình hꢆc b<ng hình c8u

Bloch. Nó là không gian hai chiꢒu, nghCa là trꢃng thái lꢇꢊng tꢋ cꢄa mꢈt qubit có hai bꢅc

tꢁ do. Mꢈt bꢈ nhꢀ ch a n qubit s? có 2ⁿ⁺¹− 2 bꢅc tꢁ do.

Hình 1.4: Hinh cꢋu Bloch

Trong khꢐi c8u Bloch, tꢌt cꢏ các trꢃng thái cꢄa qubit có thꢂ viꢓt dꢇꢀi dꢃng liên hꢊp

ch9ng chꢅp cꢄa 1 và 0 . Nhꢇ vꢅy ψ Čꢇꢊc biꢂu diAn:

iϕ

θ

ψ = cos( ) 0 + e sin( )1 = cos( ) 0 + (cosϕ + isinϕ)sin( )1

2

Vꢀi: 0 ≤ θ ≤ Π , 0 ≤ ϕ ≤ 2Π

Các giá trꢙ cꢄa (x, y, z) tꢃi ψ trong hình c8u Čꢇꢊc tính:

x = sinθ cosϕ

y = sinθ sinϕ

z = cosφ

- 4 -

Trong mꢅt mã lꢇꢊng tꢋ, ngoài hai trꢃng thái cꢍ bꢏn là 1 =

0,1 và 0 = (1,0) Čꢇꢊc

( )

sꢋ dꢎng chúng ta còn quan tâm Čꢓn hai trꢃng thái cꢍ bꢏn khác cꢄa lꢇꢊng tꢋ là:

1

+ =

( 0 + 1 ) =

(1,1) và − =

( 0 − 1 ) =

(1,−1) .

2

Trꢃng thái − và + cꢄa bit lꢇꢊng tꢋ tꢇꢍng ng vꢀi sꢁ phân cꢁc cꢄa photon là phân

cꢁc chéo 45^ovà 135^o.

1.2.2 (o lꢇꢗng lꢇꢊng tꢋ

(o lꢇꢗng lꢇꢊng tꢋ là hành Čꢈng dùng các thiꢓt bꢙ trong lꢇꢊng tꢋ Čꢂ quan sát trꢃng

thái cꢄa các photon phân cꢁc. Trong mꢅt mã lꢇꢊng tꢋ, Čo lꢇꢗng là mꢈt hành Čꢈng không

thꢂ tách rꢗi, dꢁa vào trꢃng thái cꢄa các pohoton phân cꢁc Čo Čꢇꢊc mà ta quyꢓt Čꢙnh xem

bit c) Čiꢂn tꢇꢍng ng cꢄa nó là 1 hay 0.

Mꢈt khái niꢉm chúng ta c8n quan tâm khi nguyên c u cꢍ hꢆc lꢇꢊng tꢋ là cꢍ s*. Cꢍ

s* Čꢇꢊc tꢃo thành tꢚ c:p Čôi trꢁc chu;n. (iꢒu Čó có nghCa là nꢓu hai trꢃng thái ϕ và ψ

∗

trong cùng cꢍ s* luôn có tích vô hꢇꢀng cꢄa hai vector b<ng 0 hay ϕ ψ = 0 . Mꢈt trꢃng

∗

photon bꢌt kD Čꢇꢊc Čo trong cꢍ s* thì kꢓt quꢏ Čo lꢇꢗng chB có thꢂ cho là ϕ ho:c ψ .

Xét bꢐn thái cꢍ bꢏn cꢄa lꢇꢊng tꢋ vꢚa Čꢒ cꢅp * trên là 1 , 0 , + , − , ta có 1 0 = 0 .

Nhꢇ vꢅy c:p 1 , 0 Čꢇꢊc gꢆi là c:p Čôi trꢁc chu;n, c:p Čôi này tꢃo lên cꢍ s* ⊕ gꢆi là cꢍ

s* ngang. Tꢇꢍng tꢁ tꢚ + , − cꢖng là c:p Čôi trꢁc chu;n tꢃo lên cꢍ s* chéo ⊗ .

Hình 1.5: Hai cꢆ sꢜ quan trꢇng cꢔa qubit

Khi Čo lꢇꢗng lꢇꢊng tꢋ, mꢈt photon phân cꢁc Čꢇꢊc sinh ra trong cꢍ s* nào s? Čꢇꢊc

Čo lꢇꢗng Čúng trong cꢍ s* Čó. Photon sinh ra trong cꢍ s* ⊕ và trꢃng thái phân cꢁc cꢄa nó

- 5 -

là 0 (ho:c 1 ) thì sau khi ta Čo lꢇꢗng nó ta cꢖng Čꢇꢊc trꢃng thái phân cꢁc là 0 (ho:c

1 ). Cꢖng nhꢇ vꢅy, photon sinh ra trong cꢍ s* ⊗ và trꢃng thái phân cꢁc cꢄa nó là −

(ho:c + ) thì sau khi ta Čo lꢇꢗng nó ta cꢖng Čꢇꢊc trꢃng thái phân cꢁc là − (ho:c + ).

1.2.3 Bꢌt Čꢙnh lꢇꢊng tꢋ

(ꢙnh lý bꢌt Čꢙnh lꢇꢊng tꢋ phát biꢂu r<ng kꢓt quꢏ cꢄa phép Čo lꢇꢗng mꢈt photon

phân cꢁc chB Čúng khi và chB khi tꢅp hꢊp các trꢃng thái cꢄa cꢍ s* Čo lꢇꢗng ch a trꢃng thái

cꢄa nó[7].

(ꢙnh lý này cꢖng nói r<ng, nꢓu mꢈt photon Čꢇꢊc tꢃo ra trong mꢈt cꢍ s* và Čꢇꢊc Čo

lꢇꢗng * cꢍ s* khác thì kꢓt quꢏ là photon bꢙ phân cꢁc trong cꢍ s* mꢀi và kꢓt quꢏ cꢄa phép

Čo lꢇꢗng là ngꢘu nhiên.

Hình 1.6: Minh hꢇa Čꢝnh lý bꢙt Čꢝnh lꢀꢛng tꢃ

- 6 -

Ví dꢎ: Nꢓu ta sinh ra 1 photon 0 (ho:c 1 ) và Čo lꢇꢗng nó trong cꢍ s* ⊗ thì kꢓt

quꢏ s? thu Čꢇꢊc là + ho:c − vꢀi xác suꢌt 50/50.

Nhꢇ vꢅy, nꢓu ai Čó muꢐn biꢓt thông tin vꢒ mꢈt qubit nào Čó thì hꢆ phꢏi biꢓt cꢍ s*

mà nó Čꢇꢊc sinh ra. (ây là mꢈt trong nh>ng tính chꢌt quan trꢆng trong cꢍ hꢆc lꢇꢊng tꢋ

Čꢇꢊc sꢋ dꢎng trong mꢅt mã lꢇꢊng tꢋ.

1.2.4 Liên kꢓt lꢇꢊng tꢋ

Liên kꢓt lꢇꢊng tꢋ là hiꢉu ng trong cꢍ hꢆc lꢇꢊng tꢋ trong Čó trꢃng thái lꢇꢊng tꢋ cꢄa

hai hay nhiꢒu vꢅt có thꢂ liên hꢉ vꢀi nhau dù chúng có n<m cách xa nhau. (iꢒu này nghCa

là phép Čo thꢁc hiꢉn trên vꢅt thꢂ này s? ꢏnh hꢇ*ng trꢁc tiꢓp Čꢓn trꢃng thái lꢇꢊng tꢋ trên

vꢅt thꢂ liên kꢓt lꢇꢊng tꢋ vꢀi nó[7].

Liên kꢓt lꢇꢊng tꢋ thꢇꢗng Čꢇꢊc mô tꢏ vꢀi hai photon có sꢁ liên hꢉ vꢀi nhau, trꢃng

thái cꢄa photon này quyꢓt Čꢙnh trꢃng thái cꢄa photon kia. Nꢓu Čo lꢇꢗng trꢃng thái cꢄa mꢈt

photon thì ngay lꢅp t c s? biꢓt Čꢇꢊc trꢃng thái cꢄa photon có liên hꢉ vꢀi nó. (iꢒu này

cꢖng có nghCa là nꢓu ta buꢈc photon này có trꢃng thái nào Čó thì lꢅp t c photon kia cꢖng

có trꢃng thái tꢇꢍng ng.

Sꢁ liên hꢉ gi>a hai photon ch ng tꢜ r<ng gi>a chúng có mꢈt mꢐi quan hꢉ tꢇꢍng tác

nào Čó. Mꢐi quan hꢉ tꢇꢍng tác này là mꢈt hꢉ quꢏ cꢄa các Čꢙnh luꢅt trong cꢍ hꢆc lꢇꢊng tꢋ.

Ω

Xét hai hꢉ thꢐng lꢇꢊng tꢋ H _Avà H_B

Hꢉ thꢐng g9m hai hꢉ thꢐng H _Avà H_Blà

tích tensor cꢄa các trꢃng thái trong hꢉ thꢐng H _AΘH_B. Nhꢇ vꢅy nꢓu hꢉ thꢐng H _Acó trꢃng

thái ψ và hꢉ thꢐng H_Bcó trꢃng thái ψ thì trꢃng thái cꢄa hꢉ thꢐng hꢊp thành là:

A

B

ψ

Θψ , nhꢇ vꢅy trꢃng thái cꢄa hꢉ thꢐng tính theo công th c trên là trꢃng thái có thꢂ

A

B

tách rꢗi ho:c trꢃng thái tích các hꢉ thꢐng.

Vꢅy hiꢉn tꢇꢊng liên kꢓt lꢇꢊng tꢋ Čꢇꢊc thꢂ hiꢉn nhꢇ thꢓ nào? Giꢏ sꢋ hꢉ thꢐng H _Acó

cꢍ s*

{

i

}

và Giꢏ sꢋ hꢉ thꢐng H_bcó cꢍ s*

{

i

}

. Trꢃng thái cꢄa hꢉ thꢐng H _AΘH_BČꢇꢊc

A

B

biꢂu diAn:

ψ

=

C i Θ j

ij

ƒ

AB

A

B

i, j

Trong Čó: ψ

=

C ^Ai và ψ

=

C^Bi .

ƒ

i

j

A

B

i

j

- 7 -

Trꢃng thái ψ

Čꢇꢊc gꢆi là có thꢂ tách rꢗi Čꢇꢊc nꢓu c_ij= c_i^Ac^B_j, và không thꢂ tách

AB

rꢗi Čꢇꢊc nꢓu c_ij≠ c_i^Ac^B_j.

Trꢃng thái liên kꢓt lꢇꢊng tꢋ là trꢃng thái cꢄa hꢉ thꢐng không thꢂ tách rꢗi Čꢇꢊc.

Trong mꢅt mã lꢇꢊng tꢋ chúng ta sꢋ dꢎng nhiꢒu Čꢓn trꢃng thái Bell cꢄa liên kꢓt

lꢇꢊng tꢋ. Bꢐn trꢃng thái Bell cꢄa hai qubit Čꢇꢊc gi> b*i An(chB sꢐ dꢇꢀi A) và Bình(chB sꢐ

dꢇꢀi B):

1

φ⁺

φ⁻

=

( 0

0

+ 1 1 )

A

B

A

B

2

1

− 1 1 )

A

B

2

1

ψ ⁺

ψ ⁻

=

( 0 1 + 1 0 )

A

B

A

B

2

1

=

( 0 1 − 1 0 )

A

B

A

B

2

Ta s? xem xét ý nghCa cꢄa các trꢃng thái Bell trên. Xét trꢃng thái φ⁺:

Nꢂu An Čo lꢀꢄng qubit mà anh ta n m giꢎ trong cꢆ sꢜ ⊕ thì kꢂt quꢅ là ng!u nhiên 1

ho"c 0 vꢁi xác suꢙt nhꢀ nhau.

‹ Nꢂu kꢂt quꢅ phép Čo lꢀꢄng cꢔa An là 0 trꢏng thái cꢔa hꢐ thꢑng lúc Čó là 0 0 .

A

B

‹ Nꢂu kꢂt quꢅ phép Čo lꢀꢄng cꢔa An là 1 trꢏng thái cꢔa hꢐ thꢑng lúc Čó là 1 1 .

A

B

Sau Čó Bình Čo lꢀꢄng qubit mà anh ta n m giꢎ trong cùng cꢆ sꢜ mà An thì kꢂt quꢅ mà anh

ta nhꢌn Čꢀꢛc ph# thuꢒc vào trꢏng thái cꢔa hꢐ thꢑng lúc Čó:

‹ Nꢂu trꢏng thái cꢔa hꢐ thꢑng lúc Čó là 0 0 thì kꢂt quꢅ phép Čo lꢀꢄng cꢔa An là

A

B

0 .

‹ Nꢂu trꢏng thái cꢔa hꢐ thꢑng lúc Čó là 1 1 thì kꢂt quꢅ phép Čo lꢀꢄng cꢔa An là

A

B

1 .

Tính chꢌt quan trꢆng cꢄa liên kꢓt lꢇꢊng tꢋ là không thꢂ tách rꢗi thành các thành

′

ph8n. (iꢒu này có nghCa là không thꢂ tìm ra hai qubit σ

và σ

sao cho

+

′

σ Θ σ = φ .

Xét vꢒ m:t mꢅt mã, tính chꢌt này là cꢍ s* hình thành giao th c phân phꢐi khóa

lꢇꢊng tꢋ EPR mà chúng ta s? tìm hiꢂu * nh>ng ph8n sau.

- 8 -

1.2.5 (ꢙnh lý không thꢂ sao chép lꢇꢊng tꢋ

(ꢙnh lý không thꢂ sao chép lꢇꢊng tꢋ là mꢈt kꢓt quꢏ cꢄa cꢍ hꢆc lꢇꢊng tꢋ. (ꢙnh lý

phát biꢂu r<ng, không thꢂ tꢃo bꢏn sao cꢄa mꢈt qubit khi chꢇa biꢓt cꢍ s* mà qubit c8n sao

chép Čꢇꢊc tꢃo ra[7].

1.3 TÍNH TOÁN LꢓꢔNG Tꢕ

1.3.1 Mꢈt sꢐ ký hiꢉu toán hꢆc

Trong tính toán lꢇꢊng tꢋ, mꢈt qubit ω = α 0 + β 1 thꢇꢗng có thꢂ biꢂu diAn dꢇꢀi

hai dꢃng.

α

» ÿ

° Dꢃng th nhꢌt Čꢆc là “ket”, ký hiꢉu là ω =

… Ÿ

β

⁄

° Dꢃng th nhꢌt Čꢆc là “bra”, ký hiꢉu là ω =

[

α

β

]

ϕ ω (viꢓt t=t cꢄa ϕ ω ) là tích cꢄa ma trꢅn 1x2 và ma trꢅn 2x1. Ví dꢎ

α

»

₂ÿ

Ÿ

ϕ = α₁0 + β₁1 và ω = α₂0 + β₂1 Ω ϕ ω =

[

α₁β₁

]

= α₁α₂+ β₁β₂.

…

β₂

⁄

Chú ý r$ng: 1 1 = 0 0 = ω ω =1 và 1 0 = 0 1 = 0 tꢇꢍng tꢁ vꢀi mꢆi ϕ ta có

ϕ ϕ = 1

ϕ ω (viꢓt t=t cꢄa ϕ Θ ω ) là phép nhân cꢄa qubit trong lꢇꢊng tꢋ.

a

2 a_1n

»

…

ÿ

Ÿ

11

Cho ma trꢅn A =

4

6

4

là ma trꢅn vuông cꢌp n trên trꢇꢗng sꢐ ph c, và có

Ÿ

⁄

a_n12 a_nn

a_ij= α_ij+ iβ_ij

(

1≤ i, j ≤ n

)

»

…

ÿ

Ÿ

a₁₁2 a_1n

°

A =

4

6

4

là ma trꢅn liên hꢊp cꢄa A Ω a_ij= α_ij−iβ_ij

Ÿ

a_n12 a_nn

⁄

T

»

…

ÿ

a₁₁2 a_1n

Ÿ

T

°

A^T=

4

6

4

là ma trꢅn chuyꢂn cꢄa ma trꢅn A Ω a_ij= a_ji

Ÿ

T

Ÿ

⁄

a_n12 a_nn

- 9 -

+

»

…

ÿ

Ÿ

a₁₁2 a_1n

°

A⁺=

4

6

4

là ma trꢅn liên hꢊp Hermitian Ω A⁺= A^Thay

+

Ÿ

⁄

a_n12 a_nn

+

a_ij= α _ji−iβ _ji.

1.3.2 Biꢓn Č)i bit lꢇꢊng tꢋ

Trong cꢍ hꢆc lꢇꢊng tꢋ, chúng ta có thꢂ biꢓn Č)i photon phân cꢁc tꢚ trꢃng thái này

′

sang trꢃng thái khác. Sꢁ biꢓn Č)i cꢄa mꢈt qubit ϕ thành ϕ Čꢇꢊc diAn tꢏ b*i “ma trꢅn

Čꢍn vꢙ biꢓn Č)i” U.

′

ϕ =U ϕ

Ma trꢅn Čꢍn vꢙ biꢓn Č)i là nh>ng ma trꢅn Pauli, t c là các ma trꢅn U thꢜa mãn Čiꢒu

kiꢉn UU ⁺= I , nghCa là U ⁺=U ⁻¹.

α

» ÿ

Ví dꢎ: ϕ = α 0 + β 1 =

… Ÿ

β

⁄

0 1

1 0

»

ÿ

Và U =

…

Ÿ

⁄

0 1 α

β

»

…

ÿ» ÿ » ÿ

′

Ω ϕ =U ϕ =

=

= β 0 +α 1

Ÿ… Ÿ … Ÿ

1 0 β

α

⁄

′

Ω ϕ = β 0 +α 1

1.3.3 Phép nhân trꢃng thái lꢇꢊng tꢋ

Trꢃng thái cꢄa mꢈt hꢉ thꢐng liên hꢊp các qubit là tích tensor cꢄa các trꢃng thái qubit

có trong hꢉ thꢐng liên hꢊp Čó. Nꢓu hꢉ thꢐng có n qubit vꢀi trꢃng thái riêng lE là

ϕ₂, ϕ₂, ϕ₃,...ϕ_nthì trꢃng thái liên hꢊp cꢄa chúng s? là ϕ₁Θ ϕ₂Θ ϕ₃Θ...ϕ_n

Ví dꢎ: Trꢃng thái cꢄa mꢈt hꢉ thꢐng g9m 2 qubit: ϕ₁= a 0 + b 1 và ϕ₂= c 0 + d 1

thì trꢃng thái cꢄa hꢉ thꢐng là:

ac

»

…

ÿ

Ÿ

⁄

a

c

ad

bc

bd

» ÿ » ÿ

ϕ₁Θ ϕ₂=

Θ

=

= ac 0 0 + ad 0 1 + bc 1 0 + bd 1 1

… Ÿ … Ÿ

b

d

⁄

- 10 -

1.3.4 (o lꢇꢗng lꢇꢊng tꢋ trên cꢍ s* toán hꢆc

(o lꢇꢗng lꢇꢊng tꢋ Čꢇꢊc mô tꢏ b*i tꢅp hꢊp

{

M_m

}

( M_m= a_mΘ a_m, a_mlà trꢃng thái

cꢄa qubit sau khi thꢁc hiꢉn phép Čo lꢇꢗng) cꢄa toán tꢋ Čo lꢇꢗng. ChB sꢐ m là Č8u ra có thꢂ

sꢏy ra trong thí nghiꢉm. Nꢓu trꢃng thái cꢄa qubit trꢇꢀc khi Čo lꢇꢗng là ϕ thì:

° Xác suꢙt sꢅy ra m sau thí nghiꢐm là p(m) = ϕ M_m⁺M_mϕ .

M_mϕ

° Trꢏng thái cꢔa qubit sau phép Čo lꢀꢄng là:

° Tꢌp hꢛp phꢅi Čꢅm bꢅo:

° Tꢚng xác suꢙt sꢅy ra b$ng 1:

.

ϕ M_m⁺M_mϕ

{

M_m

}

M ⁺M = I .

ƒ

m

P(m) =

ϕ M ⁺M ϕ =1.

ƒ

m

Ví dꢎ: Nꢓu ta thꢁc hiꢉn phép Čo lꢇꢗng ϕ = α 0 + β 1 trong cꢍ s* ⊕ , tꢅp hꢊp cꢄa

toán tꢋ Čo lꢇꢗng s? là M_m= (M₀,M₁) vꢀi:

{

}

1

1 0

0 0

0

0 0

0 1

» ÿ

»

ÿ

» ÿ

»

…

ÿ

M₀= 0 Θ 0 =

[1 0

]Θ

=

và M₁= 1 1 =

[

0 1

]

=

… Ÿ

…

Ÿ

⁄

… Ÿ

Ÿ

⁄

0

1

⁄

1 0

»

ÿ

Ω

M ⁺M =M ⁺M + M ⁺M =

= I

ƒ

m

0

1

…

Ÿ

⁄

0 1

m

Xác

suꢌt

sꢏy

ra

sau

thí

nghiꢉm

cho

ta

0

là:

1 0 a

»

ÿ» ÿ

p(0) = ϕ M₀⁺M₀ϕ =

[a b

]

= α ²

…

Ÿ… Ÿ

0 0 b

⁄ ⁄

Xác suꢌt sꢏy ra sau thí nghiꢉm cho ta 1 là:

0 0 α

ÿ» ÿ

»

p(1) = ϕ M₁⁺M₁ϕ =

[α

β

]

= β ²

…

Ÿ… Ÿ

0 1 β

⁄

Ω

p(m) = p(0) + p(1) = α ²+ β ²=1. Thꢜa mãn t)ng xác suꢌt b<ng 1.

ƒ

m

Trꢃng thái cꢄa qubit sau Čo lꢇꢗng:

1 0 α

ÿ» ÿ

1

»

…

» ÿ

α

Ÿ… Ÿ

… Ÿ

M₀ϕ

α

0 0 β

0

⁄

• Nꢓu kꢓt quꢏ là 0 là

=

0

ϕ M₀^tM₀ϕ

α ²

α

- 11 -

0 0 α

ÿ» ÿ

0

»

…

» ÿ

β

Ÿ… Ÿ

… Ÿ

M₀ϕ

β

0 1 β

1

⁄

• Nꢓu kꢓt quꢏ là 1 là

=

1

ϕ M₀^tM₀ϕ

β ²

β

Ngoài ra, nꢓu Čo lꢇꢗng ϕ = α 0 + β 1 trong cꢍ s* trꢁc chu;n v = a 0 + b 1 và

2

′

v = b 1 − a 0 (trong Čó a + b =1). Ta có:

b

»

ÿ

′

v v =

′

[a b

]

= ab − ba = 0 Ω v và v là c:p trꢁc chu;n cꢄa mꢈt cꢍ s* nào

…

Ÿ

⁄

− a

Čó.

2

a

»

…

ÿ

Ÿ

⁄

» ÿ

a

ab

v Θ v =

[

a b

]

Θ

=

… Ÿ

ab b²

b

⁄

2

b

»

ÿ

Ÿ

⁄

»

ÿ

b

− ab

′

Và v Θ v =

[

b − a

]

Θ

=

.

…

Ÿ

⁄

− ab a²

− a

1 0

0 1

»

…

ÿ

′

Ω v Θ v + v Θ v =

= I

Ÿ

⁄

Nhꢇ vꢅy:

′

ϕ = I ϕ = ( v Θ v + v Θ v ) ϕ = ( v Θ v + v Θ v )(α 0 + β 1 )

′

= α( v Θ v 0 + v Θ v 0 ) + β( v Θ v 1 + v Θ v 1 )

′

= (α v 0 + β v 1 ) v + (ε v 0 + β v 1 ) v

′

= (αa + βb) v + (αb − βa) v

Tꢚ biꢂu th c trên ta dA tính Čꢇꢊc xác suꢌt Čo Čꢇꢊc v là

(

αa + βb

)

², và xác suꢌt Čo

2

′

Čꢇꢊc v là

(

αb − βa

)

.

1.3.5 Trꢃng thái Bell

Trꢃng thái Bell là nh>ng trꢃng thái cꢄa liên kꢓt lꢇꢊng tꢋ Č:t theo tên cꢄa nhà khoa

hꢆc J. S. Bell, Čꢇꢊc ng dꢎng vào trong mꢅt mã lꢇꢊng tꢋ[8].

(ꢂ tꢃo ra liên kꢓt lꢇꢊng tꢋ theo trꢃng thái Bell cꢄa hai photon phân cꢁc trong phòng

thí nghiꢉm ngꢇꢗi ta dùng hai qubit ϕ = 0 và ω = 0

- 12 -

1

»

ÿ

Ÿ

1

′

° Biꢓn Č)i qubit ϕ thành ϕ qua U₁= H =

…

1 −1

2

⁄

1

»

ÿ» ÿ

» ÿ

1

′

Ω ϕ = H ϕ =

=

(

0 + 1

)

…

Ÿ… Ÿ

… Ÿ

1 −1 0

1

⁄

2

⁄ ⁄

° Lúc này hꢉ thꢐng hai qubit s? có trꢃng thái

1

» ÿ

… Ÿ

1

1 0

0

» ÿ

»

ÿ

1

… Ÿ

′

δ = ϕ Θ ω =

Θ[1 0

]

=

… Ÿ

…

Ÿ

⁄

… Ÿ

1

⁄

1 0

1

2

… Ÿ

0

⁄

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

»

ÿ

Ÿ

⁄

…

′

° Biꢓn Č)i δ thành δ qua U₂= C_not

=

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

1

»

…

ÿ

Ÿ

⁄

» ÿ

… Ÿ

0

1

Ω δ = C_notδ =

=

(

0 0 + 1 1

= φ ⁺

)

… Ÿ

′

… Ÿ

1

0

2

… Ÿ

0

1

⁄

Nhꢇ vꢅy ta Čã tꢃo Čꢇꢊc c:p liên kꢓt lꢇꢊng tꢋ có trꢃng thái φ⁺tꢚ hai qubit 0 .

Tꢇꢍng tꢁ thꢓ, tꢚ các c:p Č8u vào khác ta s? tꢃo Čꢇꢊc các trꢃng thái khác cꢄa Bell:

1

0 0 →

1 0 →

(

0 0 + 1 1

)

= φ⁺;

0 1 →

1 1 →

(

0 1 + 1 0

)

= ψ ⁺

2

1

(

0 0 − 1 1

)

= φ⁻;

(

0 1 − 1 0

)

= ψ ⁻

2

Nhꢇ vꢅy các c:p trꢃng thái Bell cꢄa hai qubit có thꢂ Čꢇꢊc tꢃo ra theo sꢍ Č9:

Hình 1.7: Sꢆ Čꢈ tꢏo c"p trꢏng thái bell

- 13 -

(ꢂ ch ng minh sꢁ liên hꢉ lꢇꢊng tꢋ cꢄa các trꢃng thái Bell ta l8n lꢇꢊt thꢁc hiꢉn phép

Čo lꢇꢗng σ và φ⁺trên tꢅp hꢊp

= (M₀,M₁) cꢄa toán tꢋ Čo lꢇꢗng.

{

M_m

}

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 1

»

…

ÿ

Ÿ

⁄

»

…

ÿ

Ÿ

⁄

Trong Čó M₀=

và M₁=

° (o lꢇꢗng σ :

• Xác suꢌt sꢏy ra 0 sau Čo lꢇꢗng là:

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

1

»

…

ÿ

Ÿ

⁄

» ÿ

… Ÿ

0

1

p(0) = σ M₀⁺M₀σ =

[1 0 1 0

]

=1

…

… Ÿ

…

… Ÿ

1

2

…

… Ÿ

0

⁄

• Kꢓt quꢏ sꢏy ra 0 sau Čo lꢇꢗng là:

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

1

»

…

ÿ

Ÿ

⁄

» ÿ

… Ÿ

M₀σ

0

1

… Ÿ

=

= σ

σ M₀⁺M₁σ

… Ÿ

1

2

… Ÿ

0

⁄

Ω

(o lꢇꢗng σ trong c:p toán tꢋ Čo lꢇꢗng

{

M_m

}

= (M₀,M₁) không làm thay Č)i

trꢃng thái cꢄa hꢉ thꢐng, nghCa là phép Čo lꢇꢗng mꢈt qubit trong c:p không làm ꢏnh hꢇ*ng

Čꢓn qubit khác trong c:p Čó.

° (o lꢇꢗng φ⁺:

• Xác suꢌt sꢏy ra 0 sau Čo lꢇꢗng là:

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

1

»

…

ÿ

Ÿ

⁄

» ÿ

… Ÿ

0

1

2

1

2

p(0) = φ ⁺M₀⁺M₀φ ⁺

=

[

1 0 0 1

]

=

… Ÿ

…

… Ÿ

0

1

2

… Ÿ

1

0

⁄

- 14 -

• Kꢓt quꢏ sꢏy ra 0 sau Čo lꢇꢗng là:

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

1

»

…

ÿ

Ÿ

⁄

» ÿ

… Ÿ

0

1

… Ÿ

0

1

» ÿ

2

… Ÿ

M₀σ

1

0

⁄

… Ÿ

=

= 0 0

σ M₀⁺M₀σ

… Ÿ

0

… Ÿ

2

0

⁄

1

• Tꢇꢍng tꢁ ta có: Kꢓt quꢏ cꢄa phép Čo lꢇꢗng sꢏy ra 1 là

phép Čo lꢇꢗng là 1 1

và kꢓt quꢏ sau

2

Ω

(o lꢇꢗng σ trong

{

M_m

}

= (M₀,M₁) làm thay Č)i trꢃng thái cꢄa hꢉ thꢐng, Č8u

1

ra là 1 1 vꢀi xác suꢌt

và 0 0 vꢀi xác suꢌt

. (iꢒu này có nghCa là phép Čo lꢇꢗng

2

φ⁺là trꢃng thái

Ω

mꢈt qubit trong c:p làm ꢏnh hꢇ*ng Čꢓn qubit còn lꢃi trong c:p Čó

cꢄa photon phân cꢁc trong hiꢉn tꢇꢊng liên kꢓt lꢇꢊng tꢋ.

1.3.6 Ch ng minh không thꢂ sao chép lꢇꢊng tꢋ

Giꢏ sꢋ có thꢂ sao chép Čꢇꢊc trꢃng thái cꢄa qubit σ mà ta chꢇa biꢓt thông tin b<ng

cách biꢓn Č)i tꢚ trꢃng thái ϕ khác vꢒ trꢃng thái cꢄa σ thông qua mꢈt ma trꢅn Čꢍn vꢙ

biꢓn Č)i U. Nhꢇ vꢅy ta có:

U σ

ϕ

= σ

σ

(1)

A

B

A

B

Tꢇꢍng tꢁ ta cꢖng có:

U ω

ϕ

= ω

ω

A

B

A

B

Ω ϕ ω U = ω

ω

(2)

B

A

B

A

Tꢚ (1) và (2):

Ω ϕ ω UU σ

ϕ

= ω

ω

σ

B

A

B

A

B

M:t khác ta có U là ma trꢅn Čꢍn vꢙ biꢓn Č)i Ω UU = I

Do Čó ta có ϕ

ω

σ

ϕ

= ω

ω

σ

B

A

B

A

B

Lꢃi có ϕ ϕ = 1Ω ω

σ

= ω

ω

σ

A

B

A

B

Nhꢇ vꢅy ω σ =1 ho:c ω σ = 0

B

A

- 15 -

σ

Ω

ω và σ phꢏi cùng cꢍ s*, t c là ω = σ ho:c ω và

cùng là hai trꢃng

thái trꢁc giao. Nhꢇ vꢅy ta chB có thꢂ Čo lꢇꢗng Čꢇꢊc trꢃng thái cꢄa qubit khi biꢓt Čꢇꢊc cꢍ

s* cꢄa nó, Čó chính là nꢈi dung Čꢙnh lý không thꢂ sao chép lꢇꢊng tꢋ.

1.3.7 C)ng lꢇꢊng tꢋ[7]

C)ng lꢇꢊng tꢋ là các ma trꢅn biꢓn Č)i. Nó thꢁc hiꢉn phép biꢓn Č)i tꢚ trꢃng thái

lꢇꢊng tꢋ này sang trꢃng thái lꢇꢊng tꢋ khác. C)ng lꢇꢊng tꢋ thꢇꢗng Čꢇꢊc biꢂu diAn b<ng

các ma trꢅn unitary, là ma trꢅn thꢜa mãn Čiꢒu kiꢉn UU ^T= I .

C#ng Hadamard: là c)ng thꢁc hiꢉn trên mꢈt qubit. Nó biꢓn Č)i trꢃng thái lꢇꢊng tꢋ

tꢚ 0 → + và 1 → − . C)ng Hadamard Čꢇꢊc biꢂu diAn b*i ma trꢅn H:

1

»

ÿ

Ÿ

1

H =

…

1 −1

2

⁄

Hình 1.8: Cꢚng lꢀꢛng tꢃ Hadamard

C#ng Pauli-X: là c)ng thꢁc hiꢉn trên mꢈt qubit. Nó thꢁc hiꢉn phép biꢓn Č)i

1 → 0 và 0 → 1 . C)ng Pauli-X Čꢇꢊc biꢂu diAn b*i ma trꢅn X:

0 1

1 0

»

…

ÿ

X =

Ÿ

⁄

C#ng Pauli-Y: là c)ng thꢁc hiꢉn trên mꢈt qubit. Nó Čꢇꢊc biꢂu diAn b*i ma trꢅn Y:

0 − i

»

…

ÿ

Y =

Ÿ

⁄

i

0

C#ng Pauli-Z: là c)ng thꢁc hiꢉn trên mꢈt qubit. Nó thꢁc hiꢉn phép biꢓn Č)i

0 → 0 và 1 → −1 . C)ng Pauli-X Čꢇꢊc biꢂu diAn b*i ma trꢅn Z:

1

0

»

…

ÿ

Ÿ

Y =

0 −1

⁄

C#ng d$ch chuy%n pha: là c)ng thꢁc hiꢉn trên mꢈt qubit. Nó Čꢇꢊc biꢂu diAn b*i ma

trꢅn R

(

θ

)

:

1

0

»

ÿ

R

(

θ

)

=

…

Ÿ

⁄

0 e^iθ

- 16 -

π

Trong Čó θ là dꢝch chuyꢕn pha. Nó có th% nhꢌn các giá trꢝ khác nhau nhꢀ

,

,..

8

4

2

C#ng hoán v$ thꢁc hiꢉn trên hai qubit. Nó thꢁc hiꢉn viꢉc hoán vꢙ trꢃng thái cꢄa hai

qubit. C)ng dꢙch chuyꢂn pha Čꢇꢊc biꢂu diAn b*i ma trꢅn SWAP:

1 0 0 0

»

…

0 0 1 0

…

0 1 0 0

…

0 0 0 1

ÿ

Ÿ

⁄

SWAP =

C#ng Čiꢎu khi%n thꢁc hiꢉn trên hai qubit. C)ng Čiꢒu khiꢂn Čꢍn giꢏn nhꢌt là

controlled-Not (CNot). C)ng CNot thꢁc hiꢉn toán tꢋ not lên qubit th hai nꢓu qubit th

nhꢌt là 1:

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

»

…

ÿ

Ÿ

⁄

Cnot =

Hình 1.9: Cꢚng lꢀꢛng tꢃ Cnot

C#ng Toffoli thꢁc hiꢉn trên 3 qubit. C)ng Toffoli thꢁc hiꢉn Pauli-X trên qubit th

ba khi hai qubit Č8u là 1 1 . Phép toán trên 3 qubit σ , ϕ , ω khi qua c)ng Toffoli

Čꢇꢊc viꢓt dꢇꢀi dꢃng:

À σ , ϕ , X ω Neu σ = ϕ = 1

σ , ϕ , ω ^T^of^foli→

Ã

σ , ϕ , ω

Õ

C#ng lꢆꢈng tꢉ ph# quát: Tꢅp hꢊp các c)ng lꢇꢊng tꢋ ph) quát là tꢅp hꢊp các c)ng

mà bꢌt kD các hoꢃt Čꢈng có thꢂ có trên máy tính lꢇꢊng tꢋ có thꢂ giꢏm bꢀt, có nghCa là,

mꢆi hoꢃt Čꢈng khác Čꢍn nhꢌt có thꢂ diAn tꢏ nhꢇ là chuꢛi h>u hꢃn các bꢈ này. Vꢒ m:t kꢔ

thuꢅt, Čiꢒu này là không thꢂ, vì sꢐ lꢇꢊng các c)ng lꢇꢊng tꢋ là không Čꢓm Čꢇꢊc, trong khi

sꢐ lꢇꢊng các dãy h>u hꢃn tꢚ mꢈt tꢅp h>u hꢃn là Čꢓm Čꢇꢊc. (ꢂ giꢏi quyꢓt vꢌn Čꢒn này

- 17 -

chúng ta chB yêu c8u bꢌt kD hoꢃt Čꢈng cꢍ hꢆc lꢇꢊng tꢋ có thꢂ xꢌp xB b*i mꢈt tꢅp hꢊp các

c)ng h>u hꢃn

° Mꢈt tꢅp hꢊp Čꢍn giꢏn cꢄa 2 c)ng lꢇꢊng tꢋ ph) quát là c)ng Hadamard (H),

π

c)ng dꢙch chuyꢂn pha R

(

)

và c)ng CNot.

4

° Mꢈt c)ng lꢇꢊng tꢋ ph) quát có thꢂ thꢁc hiꢉn trên ba qubit là c)ng Deutsch

D

(

θ

)

:

Ài(cosφ) a,b,c + (sinθ) a,b,1− c neu a = b =1

a,b,c →

Ã

a,b,c

Õ

π

• Chú ý r$ng cꢚng toffili là mꢒt trꢀꢄng hꢛp cꢔa cꢚng Deutsch vꢁi θ =

2

1.4 TRUYꢛN THÔNG LꢓꢔNG Tꢕ

Truyꢒn thông lꢇꢊng tꢋ là công nghꢉ sꢋ dꢎng Čꢂ truyꢒn thông tin lꢇꢊng tꢋ tꢚ hꢉ

thꢐng này Čꢓn hꢉ thꢐng khác thông qua trꢃng thái Bell.

Giꢏ sꢋ ϕ = α 1 + β 0 là qubit mà An muꢐn truyꢒn Čꢓn Bình. An và Bình cùng

c

chia sE nhau mꢈt trꢃng thái Bell. Trꢃng thái Bell Čó có thꢂ là:

1

φ ⁺

=

( 0

0

1

+ 1 1 )

A

B

A

B

2

1

φ ⁻

− 1 1 )

A

B

2

1

ψ ⁺

ψ ⁻

=

+ 1 0 )

A

B

2

1

=

( 0 1 − 1 0 )

A

B

A

B

2

Trong Čó chꢍ sꢑ A viꢂt dꢀꢁi là photon Čꢀꢛc n m giꢎ bꢜi An và B là photon n m giꢎ bꢜi

Bình.

Giꢏ sꢋ trꢃng thái Bell mà An và Bình chia sE là φ⁺. Khi Čó hꢉ thꢐng lꢇꢊng tꢋ cꢄa

A lúc Čó là:

1

≈

∆

’

÷

φ⁺Θ ϕ

=

( 0

0

+ 1 1 )

(

α 0 + β 1

)

C

A

B

A

B

c

AB

2

«

◊

1

=

(

α 0

0

+ β 0

0

1 +α 1 1

0

+ β 1 1 1

)

A

B

C

A

B

C

A

B

C

A

B

C

2

Ta cꢖng Čꢂ ý thꢌy r<ng:

- 18 -

1

0 0 =

0 1 =

1 0 =

1 1 =

( φ⁺+ φ⁻)

2

1

(ψ ⁺+ ψ ⁻

(ψ ⁺− ψ ⁻

)

2

1

)

2

1

( φ⁺− φ⁻)

2

Do Čó ta có:

φ⁺Θ ϕ

=

C

AB

≈

’

α

(

φ⁺

+ φ⁻

)

0

+ β

(

ψ ⁺

+ ψ ⁻

AC

)

0

1

2

B

∆

÷

AC

=

∆

÷

+α

φ⁺

(

ψ ⁺

− ψ ⁻

)

1 + β

(

φ⁺

− φ⁻

)

1

B

«

AC

◊

1

2

1

2

1

=

+

(

Θ

(

α 0 + β 1

))

+

(

φ⁻

Θ

(

α 0 − β 1

)

B

AC

2

1

(

ψ ⁺

Θ

(

α 0 + β 1

))

+

(

ψ ⁺

Θ

(

−α 0 + β 1

))

B

AC

2

Ta thꢁc hiꢉn phép Čo lꢇꢗng hꢉ thꢐng này trên cꢍ s* trꢃng thái Bell. Kꢓt quꢏ cꢄa

phép Čo lꢇꢗng là mꢈt trong sꢐ bꢐn trꢃng thái Bell Čꢇꢊc lꢌy tꢚ mꢈt trong bꢐn biꢂu th c

trꢃng thái sau:

φ ⁺

Θ

(

α 0 + β 1

)

B

AC

φ⁻

(

α 0 − β 1

B

ψ ⁺

(

α 0 + β 1

)

B

ψ ⁺

Θ

(

−α 0 + β 1

)

B

AC

Ta chú ý r<ng An và Bình cùng chia sE trꢃng thái Bell, Čo Čó sau khi An Čo lꢇꢗng

c:p liên kꢓt lꢇꢊng tꢋ bꢙ phá vF và trꢃng thái cꢄa qubit mà Bình n=m gi> lúc Čó s? là mꢈt

trong bꢐn trꢃng thái sau:

α 0 + β 1

B

α 0 − β 1

B

β 0 +α 1

B

−α 1 + β 0

B

- 19 -

Kꢓt quꢏ cꢄa phép Čo lꢇꢗng cꢄa An s? Čꢇꢊc gꢋi cho Bình qua Čꢇꢗng truyꢒn khác. Tꢚ

kꢓt quꢏ Čó, Bình thꢁc hiꢉn phép biꢓn Č)i lꢇꢊng tꢋ phù hꢊp Čꢂ Čꢇꢊc trꢃng thái

ϕ

= α 1 + β 0 theo công th c:

B

° Nꢓu kꢓt quꢏ cꢄa An là φ⁺thì Bình nhꢅn Čꢇꢊc ϕ mà không c8n biꢓn Č)i.

B

° Nꢓu kꢓt quꢏ cꢄa An là φ⁻thì Bình thꢁc hiꢉn cho qubit qua c)ng Pauli-Z.

° Nꢓu kꢓt quꢏ cꢄa An là ψ ⁺thì Bình thꢁc hiꢉn cho qubit qua c)ng Pauli-X.

° Nꢓu kꢓt quꢏ cꢄa An là ψ ⁻thì Bình thꢁc hiꢉn cho qubit l8n lꢇꢊt qua c)ng

Pauli-X và Pauli-Z.

Nꢓu công nghꢉ truyꢒn thông này thành hiꢉn thꢁc chúng ta có thꢂ chuyꢂn mꢈt vꢅt tꢚ

nꢍi này tꢀi nꢍi khác trong nháy m=t b<ng các thiꢓt bꢙ lꢇꢊng tꢋ, mà không c8n dùng tꢀi các

phꢇꢍng tiꢉn vꢅn tꢏi.

1.5 MÃ HÓA SIÊU DÀY ꢄ&C

Mã hóa siêu dày Č:c là công nghꢉ sꢋ dꢎng tính chꢌt cꢄa trꢃng thái Bell cꢄa c:p qubit

nh<m mꢎc Čích gꢋi hai bit c) Čiꢂn.

An và Bình cùng chia sE mꢈt trong bꢐn trꢃng thái Bell. Giꢏ sꢋ trꢃng thái mà An và

Bình cùng chia sE là:

1

φ ⁺

=

( 0

0

+ 1 1 )

A

B

A

B

2

Vꢀi mꢛi c:p trꢃng thái Bell, An thꢁc hiꢉn mã hóa hai bit c) Čiꢂn vào trꢃng thái Bell.

Cách mã hóa rꢌt Čꢍn giꢏn, An thꢁc hiꢉn cho qubit mà anh ta n=m gi> qua các c)ng thích

hꢊp Čꢂ Čꢇa tꢚ trꢃng thái Bell ban Č8u qua các trꢃng thái Bell khác. Công th c mã hóa

Čꢇꢊc sꢋ dꢎng nhꢇ sau:

00 →

01→

10 →

11→

(

IΘI

IΘZ

IΘX

)

ψ ⁺= φ⁺

ψ ⁺= φ⁻

ψ ⁺= ψ ⁺

IΘX

ψ ⁺

(

)

(

IΘZ

)(

(

)

= ψ ⁻

- 20 -

Sau khi An mã hóa, An thông báo cho Bình nh>ng trꢃng thái Bell Čã mang thông

Čiꢉp. Bình thꢁc hiꢉn Čo lꢇꢗng qubit mà mình n=m gi> trong cꢍ s* Bell. Kꢓt quꢏ cꢄa phép

Čo s? Čꢇꢊc chuyꢂn ngꢇꢊc lꢃi bit c) Čiꢂn:

φ ⁺→ 00

φ ⁻→ 01

ψ ⁺→10

ψ ⁻→11

Mã hóa siêu dày Č:c là mꢈt công nghꢉ rꢌt Čáng giá Čꢂ Č8u tꢇ tiꢒn cꢄa và công s c Čꢂ

phát triꢂn. Trong tꢇꢍng lai, nꢓu phát triꢂn Čꢇꢊc, nó s? tr* thành hꢇꢀng Či chính cꢄa ngành

mꢅt mã hꢆc.

1.6 K T CHꢓꢂNG

Trong chꢇꢍng này, tôi Čã trình bày sꢁ c8n thiꢓt cꢄa sꢁ phát triꢂn cꢄa mꢅt mã lꢇꢊng

tꢋ, các tính chꢌt quan trꢆng cꢄa cꢍ hꢆc lꢇꢊng tꢋ Čꢇꢊc sꢋ dꢎng trong ngành mꢅt mã hꢆc.

Cꢖng trong chꢇꢍng này, tôi trình bày cách tính toán, biꢓn Č)i cꢄa qubit, là cꢍ s* Čꢂ tꢃo ra

các qubit trong thꢁc tꢓ. Ngoài ra tôi tôi còn giꢀi thiꢉu mꢈt sꢐ công nghꢉ Čáng chú ý cꢄa

cꢍ hꢆc lꢇꢊng tꢋ nhꢇ truyꢒn thông lꢇꢊng tꢋ, mã hóa siêu dày Č:c.

- 21 -

Chꢆꢇng 2. PHÂN PHꢖI KHÓA LꢓꢔNG Tꢕ

2.1 GI"I THIꢙU Vꢛ PHÂN PHꢖI KHÓA LꢓꢔNG Tꢕ

Nhꢇ chúng ta Čã biꢓt, các thuꢅt toán hiꢉn Čꢃi , nhꢇ Chu;n mã hóa tiên tiꢓn (AES) rꢌt

khó bꢙ phá vF nꢓu nhꢇ không có khóa, nhꢇng hꢉ thꢐng này có mꢈt nhꢇꢊc Čiꢂm hiꢂn

nhiên: Čó là khóa phꢏi Čꢇꢊc biꢓt vꢀi cꢏ hai phía. Nhꢇ vꢅy, bài toán truyꢒn thông kín quy

vꢒ bài toán làm sao phân phꢐi nh>ng khóa này mꢈt cách an toàn – tin nh=n mã hóa khi Čó

chính nó có thꢂ Čꢇꢊc an toàn gꢋi Či theo mꢈt kênh công khai. Mꢈt phꢇꢍng pháp ph) biꢓn

là sꢋ dꢎng mꢈt Čꢐi tꢇꢊng mang an toàn Čꢂ vꢅn chuyꢂn khóa tꢚ nꢍi g*i Čꢓn nꢍi nhꢅn.

Hình 2.1: Mô hình phân phꢑi khóa

Giꢏ sꢋ, An muꢐn gꢋi cho Bình mꢈt tin nh=n bí mꢅt, nhꢇ mꢈt bꢏn giao dꢙch ngân

hàng, thông tin chính trꢙ… trên mꢈt kênh viAn thông có khꢏ nꢑng không an toàn. (ꢂ làm

viꢉc này, An và Bình phꢏi chia sE mꢈt khóa bí mꢅt – Čó là mꢈt sꢐ nhꢙ phân dài. Sau Čó,

An có thꢂ mã hóa tin nh=n cꢄa anh ta thành “mꢅt mã” b<ng mꢈt khóa chung vꢀi thuꢅt toán

mã hóa, ví dꢎ nhꢇ AES. Mꢅt mã sau Čó có thꢂ Čꢇꢊc truyꢒn Či b<ng mꢈt kênh d> liꢉu bình

thꢇꢗng, khi Čó kE nghe trꢈm s? không thꢂ hiꢂu Čꢇꢊc, và Bình có thꢂ sꢋ dꢎng khóa Čó Čꢂ

giꢏi mã tin nh=n. Trái vꢀi phꢇꢍng pháp truyꢒn thꢐng cꢄa sꢁ phân phꢐi khóa, ví dꢎ mꢈt Čꢐi

tꢇꢊng mang Čꢇꢊc tin cꢅy, mꢅt mã lꢇꢊng tꢋ Čꢏm bꢏo sꢁ an toàn cꢄa khóa Čó. Khóa cꢖng

có thꢂ thꢇꢗng xuyên thay Č)i, do Čó làm giꢏm nguy cꢍ bꢙ Čánh c=p ho:c bꢙ suy ra b*i mꢈt

phép phân tích thꢐng kê giꢏi mã cꢄa mꢅt mã.

Tuy nhiên, bꢌt c phꢇꢍng pháp phân phꢐi nào dꢁa trên con ngꢇꢗi cꢖng làm t)n hꢃi

các khóa do tꢁ ý ho:c bꢙ ép buꢈc tiꢓt lꢈ. Trái lꢃi, mꢅt mã lꢇꢊng tꢋ, hay sꢁ phân phꢐi khóa

lꢇꢊng tꢋ chính xác hꢍn, mang lꢃi mꢈt phꢇꢍng pháp tꢁ Čꢈng phân phꢐi các khóa bí mꢅt

b<ng sꢊi quang truyꢒn thông chu;n[1]. (:c trꢇng mang tính cách mꢃng cꢄa phân phꢐi

khóa lꢇꢊng tꢋ là nó vꢐn dC an toàn: giꢏ sꢋ r<ng các Čꢙnh luꢅt cꢄa thuyꢓt lꢇꢊng tꢋ là Čúng,

- 22 -

thì chúng ta có thꢂ ch ng minh khóa Čó không thꢂ bꢙ kE nghe trꢈm thu Čꢇꢊc mà không có

sꢁ hiꢂu biꢓt cꢄa ngꢇꢗi gꢋi và ngꢇꢗi nhꢅn. Hꢍn n>a, phân phꢐi khóa lꢇꢊng tꢋ cho phép

khóa thay Č)i thꢇꢗng xuyên, làm giꢏm nguy cꢍ mꢌt trꢈm khóa, ho:c “giꢏi mã”, trong Čó

kE nghe trꢈm phân tích các kiꢂu trong tin nh=n mã hóa Čꢂ suy luꢅn ra khóa bí mꢅt.

Phân phꢐi khóa lꢇꢊng tꢋ sꢋ dꢎng các tính chꢌt cꢄa cꢍ hꢆc lꢇꢊng tꢋ, dùng Čꢂ phân

phꢐi khóa hꢉ mꢅt mã Čꢐi x ng. Trong phân phꢐi khóa lꢇꢊng tꢋ, chúng ta sꢋ dꢎng hai

kênh truyꢒn là kênh truyꢒn lꢇꢊng tꢋ và kênh truyꢒn thông thꢇꢗng. Kênh truyꢒn lꢇꢊng tꢋ

là kênh truyꢒn sꢋ dꢎng kꢔ thuꢅt lꢇꢊng tꢋ Čꢂ truyꢒn Či các qubit thông qua cáp quang ho:c

không gian. Kênh truyꢒn thông thꢇꢗng là kênh truyꢒn công khai dꢎng kꢔ thuꢅt TCP/IP…

Mô hình phân phꢐi khóa lꢇꢊng tꢋ gi>a An (ngꢇꢗi gꢋi) và Bình (ngꢇꢗi nhꢅn), tùy theo

giao th c cꢎ thꢂ mà ngꢇꢗi ta chia ra làm các bꢇꢀc cꢎ thꢂ, nhꢇng nhìn chung g9m bꢐn giai

Čoꢃn:

° Giai Čoꢌn th' nhꢏt: An thꢁc hiꢉn mã hóa các bit c) Čiꢂn vào các photon

phân cꢁc (qubit), r9i chuyꢂn các qubit này cho Bình. Bình thꢁc hiꢉn Čo

lꢇꢗng các qubit này, Čꢂ thiꢓt lꢅp khóa ban Č8u.

° Giai Čoꢌn th' hai: An và Bình loꢃi ra các bit mà An và Bình không sꢋ

dꢎng cùng cꢍ s*, là các qubit Čꢇꢊc An tꢃo ra trong mꢈt cꢍ s*, nhꢇng Bình

Čo lꢇꢗng trong cꢍ s* khác.

° Giai Čoꢌn th' ba: An và Bình Čánh giá tB lꢉ lꢛi. Nꢓu tB lên lꢛi lꢀn quá giꢀi

hꢃn lꢛi, hꢆ s? hꢄy phiên truyꢒn khóa, và thꢁc hiꢉn lꢃi phiên truyꢒn khóa

khác.

° Giai Čoꢌn th' tꢆ: An và Bình sꢋ dꢎng kꢔ thuꢅt “làm mꢙn khóa”

(Reconciliation infomation) Čꢂ Č9ng nhꢌt khóa gi>a An và Bình, hꢆ thu

Čꢇꢊc khóa Čã làm mꢙn khóa, và “tꢑng tính bꢏo mꢅt” (Privacy Amplification)

làm giꢏm hiꢂu biꢓt cꢄa Nhân vꢒ khóa, hꢆ thu Čꢇꢊc khóa cuꢐi cùng.

- 23 -

Hình 2.2: Mô hình phân phꢑi khóa lꢀꢛng tꢃ

Phꢇꢍng pháp Č8u tiên cho sꢁ phân phꢐi các khóa bí mꢅt mã hóa trong nh>ng trꢃng

thái lꢇꢊng tꢋ Čꢇꢊc Čꢒ xuꢌt vào nꢑm 1984 b*i các nhà vꢅt lí lí thuyꢓt Charles Bennett tꢃi

IBM và Gilles Brassard tꢃi trꢇꢗng Čꢃi hꢆc Montreal Čꢇꢊc biꢓt Čꢓn là giao th c BB84.

Trong giao th c, ngꢇꢗi gꢋi (An) truyꢒn mꢈt chuꢛi Čꢍn photon phân cꢁc Čꢓn ngꢇꢗi nhꢅn

(Bình) và b<ng cách tiꢓn hành mꢈt loꢃt phép Čo lꢇꢊng tꢋ và truyꢒn thông công khai, hꢆ có

thꢂ thiꢓt lꢅp mꢈt khóa chia sE và kiꢂm tra xem kE nghe lén (Nhân) có ch:n Čꢇꢊc bꢌt c bit

nào thuꢈc khóa này trên Čꢇꢗng Či hay không.

Giao th c BB84[3] không nh>ng cho phép chúng ta kiꢂm tra viꢉc nghe trꢈm, mà

còn Čꢏm bꢏo An và Bình có thꢂ thiꢓt lꢅp mꢈt khóa bí mꢅt dꢘu cho Nhân Čã xác Čꢙnh Čꢇꢊc

mꢈt sꢐ bit trong chuꢛi nhꢙ phân chia sE cꢄa hꢆ, b<ng mꢈt kC thuꢅt gꢆi là “tꢑng tính bꢏo

mꢅt”. Ch@ng hꢃn, giꢏ sꢋ nhꢇ Nhân Čã biꢓt Čꢇꢊc 10% bit cꢄa khóa mà An và Bình chia sE.

Nhꢅn th c Čꢇꢊc Čiꢒu này, An và Bình khi Čó có thꢂ cùng Č9ng ý cꢈng thêm vào mꢛi c:p

bit kꢒ nhau tꢃo thành mꢈt chuꢛi mꢀi có chiꢒu dài phân nꢋa. Nhân cꢖng có thꢂ làm viꢉc

này, nhꢇng vì anh ta s? c8n phꢏi biꢓt cꢏ bit trong c:p Čꢂ xác Čꢙnh chính xác t)ng cꢄa

- 24 -