Luận văn Hàm Green đa phức và xấp xỉ các hàm chỉnh hình
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này
tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh
nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán,
các thầy cô giáo Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán
học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi
cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - ĐHTN, Trường THPT
Chuyên Tuyên Quang cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi
mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, tháng 09 năm 2009
Tác giả
Nguyễn Kim Hoa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU
1
4
CHƢƠNG 1. HÀM GREEN ĐA PHỨC
1.1. Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên không gian
parabolic.
4
1.2. Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên đa tạp con đại số.
1.3. Các số Lelong đối với hàm đa điều hoà dưới.
1.4. Hàm Green đa phức với cực logarit trên đa tạp siêu lồi.
7
10
11
CHƢƠNG 2. XẤP XỈ CÁC HÀM CHỈNH HÌNH
16
2.1. Bất đẳng thức đa thức trên đa tạp con đại số.
2.2. Định lí Bernstein - Walsh trên đa tạp con đại số.
2.3. Tiêu chuẩn đại số đối với đa tạp con giải tích.
2.4. Đa thức trực chuấn trên đa tạp con đại số .
2.5. Hệ trực chuẩn Bergman trên miền siêu lồi.
16
20
22
29
33
40
2.6. Hệ Bergman là một cơ sở Schauder trong không gian các
hàm chỉnh hình.
50
51
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết đa thế vị phức được phát triển từ những năm 80 của thế kỷ trước
dựa trên các công trình cơ bản của Bedford-Taylor, Siciak, Zahaziuta và nhiều
tác giả khác. Đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết này là hàm Green đa phức
hay hàm cực trị toàn cục. Hàm Green đa phức với những điểm kỳ dị hữu hạn đã
được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như M.Klimek, J.P. Demailly , E.A.
Poletsky, A. Zeriahi,...). Theo hướng này chúng tôi quan tâm đến hàm Green
đa phức với cực tại vô cùng trên không gian parabolic, hàm Green đa phức với
cực logarit tại vô cùng trên đa tạp con đại số và trên một đa tạp siêu lồi, đồng
thời sử dụng các kết quả đạt được cho việc xấp xỉ các hàm chỉnh hình. Vì thế
chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: “Hàm Green đa phức và xấp xỉ các hàm
chỉnh hình ”
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Trình bày các kết quả của Zeriahi về hàm Green đa phức và xấp xỉ các
hàm chỉnh hình.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung nghiên cứu về:
- Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên không gian parabolic.
- Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên đa tạp con đại số.
- Hàm Green đa phức với cực logarit trên đa tạp siêu lồi.
- Áp dụng các kết quả đạt được để xấp xỉ các hàm chỉnh hình.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
3. Phương pháp nghiên cứu
Để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, chúng tôi đã đọc tham khảo các tài
liệu trong và ngoài nước, tham khảo và học tập các chuyên gia cùng lĩnh vực
nghiên cứu. Đồng thời kế thừa các kết quả và phương pháp của M.Klimek, J.P.
Demailly , E.A. Poletsky, A. Zeriahi,... để giải quyết các vấn đề đã nêu ra ở
trên.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 52 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội
dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày một số kết quả, những tính chất quan trọng nhất về
Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên không gian parabolic. Đó là sự
N
khái quát hoá tự nhiên định nghĩa của hàm cực trị Siciak - Zahariuta trong
.
£
Tiếp theo, chúng tôi trình bày nghiên cứu về hàm Green đa phức với cực logarit
tại vô cùng trên đa tạp con đại số và trên một đa tạp siêu lồi.
Trong chương 2, chúng tôi trình bày việc mở rộng một vài dạng cổ điển
N
của lý thuyết đa thế vị trong
cho trường hợp của đa tạp con đại số
X
của
£
N . Chứng minh một vài bất đẳng thức đa thức đã biết giống như bất đẳng
£
thức Bernstein –Markov và sử dụng chúng để trình bày một phép chứng minh
mới tiêu chuẩn địa phương Sadullaev về tính đại số của đa tạp con giải tích.
Tiếp theo chúng tôi trình bày định lý Berstein- Walsh về xấp xỉ đa thức tốt nhất
của các hàm chỉnh hình trên một tập con compact không đa cực
K
của đa tạp
X
và sử dụng nó, cùng với bất đẳng thức Bernstein-Markov để nghiên cứu các
đa thức trực chuẩn. Đặc biệt, chúng tôi chứng minh rằng nếu
K
là tập compact
L - chính qui, thì các đa thức trực chuẩn làm thành một cơ sở Schauder trong
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
không gian các hàm chỉnh hình trên những miền mức con của hàm Green tương
ứng.
Phần cuối cùng của chương này, chúng tôi trình bày việc sử dụng hàm đa
phức Green với cực logarit đa trọng trên một đa tạp siêu lồi
để xây dựng hệ
D
trực chuẩn Bergman trong không gian trọng Bergman nào đó. Sau đó chúng tôi
chỉ ra rằng hệ Bergman này là một cơ sở Schauder thường trong không gian
và tất cả các không gian các hàm chỉnh hình trên những miền mức con
O
( )
D
của hàm Green tương ứng. Hơn nữa, chúng tôi chỉ ra rằng hệ trực chuẩn này
cho một kết quả chính xác của phép xấp xỉ nội suy đối với các hàm chỉnh hình
trên
D
. Đặc biệt, chúng tôi nhận được một sự mở rộng cho trường hợp đa phức
về một kết quả cổ điển của Kadampata và Zahariuta.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Chƣơng 1
HÀM GREEN ĐA PHỨC
Trong chương này chúng ta sẽ định nghĩa hai dạng hàm Green đa phức
và trình bày các tính chất quan trọng của chúng. Cụ thể là trình bày một vài kết
quả về hàm Green đa phức trên không gian Stein và hàm Green đa phức trên đa
tạp siêu lồi.
1.1. Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên không gian parabolic
1.1.1. Định nghĩa. Giả sử
trị liên kết với được định nghĩa bởi công thức sau:
(1.1) l z = logL z = sup v z ;v Î L,v / K £ 0 , z Î £ n
K
là một tập con compact của N . Hàm
L
- cực
£
K
,
{
}
K
K
trong đó L £ N là lớp các hàm đa điều hoà dưới
trên N , sao cho
u
£
( )
sup v x - log x : x Î £ ¥ < + ¥
.
{
}
L
Hàm này được gọi là hàm - cực trị Siciak-Zahariuta.
N
Bây giờ giả sử rằng trong một đa tạp con giải tích bất khả qui của
X
£
n
có số chiều
và
K
là tập con compact không đa cực của
X
. Theo một Định
lí của Sadulaev, sẽ được nghiên cứu chi tiết hơn trong phần 2.3, chúng ta có
LK Î L¥loc
nếu và chỉ nếu là tập đại số.
(
X
)
X
Tất cả các không gian Stein được xét ở đây sẽ được giả thiết là bất khả
qui. Những hàm đa điều hoà dưới trên một không gian phức đã được nghiên
cứu và định nghĩa bởi J.P.Demailly ([Dm1]). Về định nghĩa của toán tử
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Monge-Ampère phức trên những không gian phức chúng tôi đã đề cập tới trong
([Dm1]). Nguyên lí cực đại ở đây đã được đưa ra bởi E. Bedford trong ([Bd] ).
Chúng ta chỉ đề cập hai dạng của hàm đa điều hoà dưới được xác định trên một
không gian giải tích phức.
1.1.2. Định nghĩa. Hàm
gọi là đa điều hoà dưới trên
u : X ®
[
- ¥ ,+ ¥
]
không gian phức
nếu
là giới hạn địa phương của một hàm đa điều hoà
X
u
dưới trong một phép nhúng địa phương của
.
X
1.1.3. Định nghĩa. Hàm u gọi là đa điều hoà dưới yếu trên
nếu nó là đa điều
X
hoà dưới trên đa tạp phức của những điểm chính qui của và bị chặn dưới
X
trong một lân cận của mỗi điểm đơn.
1.1.4. Định nghĩa. Không gian Stein
X
được gọi là parabolic nếu nó có một
thoả mãn
dãy vét cạn các hàm đa điều hoà dưới liên tục
g : X ®
[
- ¥ ,+ ¥
]
phương trình Monge-Ampère phức thuần nhất, trừ một vài tập con compact của
R0 ³ - ¥
sao cho:
X
theo nghĩa dòng, nghĩa là tồn tại
n
(1.2)
ddcg = 0 trên x Î X ;g x > R
.
}
( )
{
0
Một hàm như vậy sẽ được gọi là thế vị parabolic trên
Giả sử E Ð X , chúng ta kết hợp với E hàm cực trị sau:
(1.3)
g X := sup v x ;v Î L X ,g ,v / E £ 0 , x Î X
X
.
E ( )
( )
{
}
L X , g
v
Trong đó ( ) là ký hiệu lớp hàm đa điều hoà dưới trên
X
, sao cho
sup v x - g+ x ;x Î X < + ¥ .
{
}
Với tập con mở khác rỗng cố định U Ð X , ta kết hợp mỗi tập con
E Ð X , dung lượng của nó đối với
, được xác định bởi công thức :
cap E;U = capg E;U = exp - sup g x ;x Î U .
U
(
)
(
)
(1.4)
{
}
)
(
E
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Ví dụ 1. Giả sử
N , và định nghĩa g z = l z = log z , z Î £ n , trong
X = £
đó
z
là chuẩn trên N . Một cách địa phương trên £ N \
{ }
0 , hàm
chỉ
£
l z
phụ thuộc vào
(
N - l
)
biến gần với một hàm đa điều hoà. Khi đó nó thoả mãn
phương trình Monge-Ampère phức:
N
ddcl = 0
{ }
.
N
(1.5)
( )
trên £ \ 0
N
Điều này có nghĩa
l
là một thế vị parabolic trên
.
£
Khi đó hàm cực trị gE kết hợp với thế vị parabolic g = l bởi công thức
(1.3) còn hàm cực trị Siciak-Zahariuta lE định nghĩa theo (1.1) (xem định lý
N
¢
B := z Î £ ; z £ r
1.2.1 phần sau). Chẳng hạn nếu
với r > 0, thì dễ dàng
{
}
r
thấy rằng:
l z = log+ z / r , z Î £ N
.
( )
¢
Br
Tổng quát hơn, nếu là một thế vị parabolic trên một không gian Stein
X
, sử
g
dụng nguyên lí cực đại đối với toán tử Monge-Ampère phức, ta có tổng quát
hoá của công thức sau cùng: với K = x Î X : g x £ logr thì
{
}
r
+
)
gKr x =
(
g x - logr
x := max
{
g x - logr, 0
}
, x Î X ,r > R0
.
N
Ví dụ 2. Nếu
X
là một không gian Stein và
là một ánh xạ chỉnh
p : X ® £
hình thực sự thì hàm định nghĩa bởi g x = log p x , x Î X , là một thế vị
X
parabolic trên , theo phương trình (1.5) và tính bất biến của phương trình
Monge-Ampère phức thuần nhất, như vậy là một không gian Stein
X
parabolic. Bây giờ chúng ta nhắc lại các kết quả quan trọng sau:
1.1.5. Định lí. ([Zr]) Cho tập con E Ð X , các điều kiện sau là tương đương:
(i)
E
là đa cực trong
X
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
gE* º + ¥
là
X
(ii)
, trên
.
(iii)
-cực, nghĩa là tồn tại
sao cho
( )
v Î L X ,g ;v º/ - ¥
E
L
(
X ,g
)
.
v / E º - ¥
(iV) cap E;U = 0 , với tập con mở nào đó U Ð X
.
g ( )
E
X
gE* Î L
(
X,g
)
Hơn nữa, nếu
là không đa cực trong
, thì
.
gE*
E
1.1.6. Định nghĩa. Hàm
gọi là hàm Green đa phức của với cực tại vô
cùng trên không gian parabolic
.
X ,g
( )
1.1.7. Định lí. ([Zr]) Giả sử là một tập con compact không đa cực của
.
K
X
Khi đó các tính chất sau xảy ra :
(i) Tồn tại một hàm số g > 0 sao cho:
+
*
+
.
- g + g x £ gK x £ g + g x , "x Î X
(ii) Phương trình Monge – Ampère phức xảy ra theo nghĩa dòng:
n
ddcg* = 0 trên
.
X \ K
( )
K
n
l := ddcg*
thoả mãn tính chất:
(iii) Độ đo cân bằng
( )
K
K
Nếu B Ð K là tập borelian sao cho l B = l K thì gB* º gK* trên
X
K ( ) ( )
K
Tính chất (iii) lần đầu tiên được chứng minh đối với độ đo cân bằng tương
đối trong ([Ng-Zr]), ở đó nó đã được sử dụng để khái quát hoá một vài bất đẳng
thức đa thức quan trọng giống như (L*) -điều kiện, đóng vai trò quan trọng trong
lý thuyết xấp xỉ.
1.2. Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên đa tạp con đại số
N
n
Giả sử X là một đa tạp con đại số bất khả qui của
£
có số chiều . Theo
tiêu chuẩn của Rudin và Sadullaev ([Rd],[Sd]), tồn tại một phép biến đổi đơn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
N
vị các toạ độ
N , sao cho tồn tại một hằng số c > 0, với tính chất
s : £ ® £
sau:
N
¢ ¢¢
¢¢
¢
(1.6)
s X Ð z = z ,z Î £ : z £ c 1+ z
,
( )
( )
(
)
{
}
¢
¢¢
trong đó z = z ,....z , z = z ,....z
.
(
)
(
)
1
n
n + 1
N
Vì thế ánh xạ xác định bởi
p x := s x ,....s x , x Î X
, là một ánh xạ chỉnh hình thực
(
)
1
n
sự, suy ra hàm:
(1.7)
g x = log p x , x Î X
,
là một vét cạn đa điều hoà dưới trên . Theo phương trình (1.5) và tính bất
X
biến của phương trình thuần nhất Monge-Ampère dưới ánh xạ chỉnh hình suy
ra :
n
ddcg = 0 trên X \ p- 1
{ }
0
( )
( )
Theo nghĩa dòng. Vì thế g là một thế vị parabolic trên
X
, theo (1.6) thoả mãn
ước lượng sau:
- c + log+ x £ g+ x £ c + log+ x , "x Î X
(1.8)
,
trong đó c là hằng số dương nào đó.
Từ ước lượng (1.8), suy ra với bất kỳ E Ð X , ta có bất đẳng thức sau :
lE x £ gE x " x Î X
.
Ký hiệu A X là đại số phân bậc các hàm đa thức trên
( )
X
, có thể đồng
nhất với thương
£ z ,....,z / I
(
X
,
)
[
]
1
N
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
trong đó
là ideal đa thức của . Với mỗi số nguyên dương d ³ 1, ta ký
I
(
X
)
X
hiệu
là không gian tuyến tính các hàm
)
là hạn chế lên
của
Ad
(
X
f Î A
(
X
)
X
đa thức trong biến số phức có bậc không vượt quá
d
. Đặc biệt, hàm như thế
N
- d
)
thỏa mãn sup
(
1 + x
f x ;x Î X < + ¥
.
{
}
Khi đó ta có định lý sau:
1.2.1. Định lý. ([Zr]) Với bất kỳ tập con compact K Ð X ta có :
1
( )
( )
gK x = sup log f x ; f Î Ad
(
X
)
, f £ 1,d ³ 1 , "x Î X
.
K
d
Phác thảo chứng minh: Trước tiên ta sẽ chỉ ra rằng công thức sau về hàm cực trị
gK xảy ra:
g x = sup v x ;v Î L
(
X
)
,v / K £ 0 , "x Î X
,
{
}
K
c
trong đó L X ký hiệu là lớp con các hàm liên tục của lớp L X = L X ,g
.
c ( )
( ) ( )
Điều đó có thể thực hiện được bằng cách chứng minh rằng mỗi v Î L X có
( )
thể được xấp xỉ bởi một dãy giảm các hàm liên tục trong L X (xem [Zr] bổ
c ( )
đề 4.1).
Khi đó Định lý được suy ra từ Bổ đề xấp xỉ sau (xem [Zr], Bổ đề 5.2):
1.2.2.Bổ đề. Cho v Î L X . Khi đó với bất kỳ tập con compact E Ð X và
c ( )
d ,...,d
e > 0, tồn tại một dãy các số nguyên dương
và một dãy các hàm đa
1
m
f1,..., fm
thức
với fj Î Ad
(
X
)
,
j = 1,...,m , sao cho:
j
æ
ö
÷
1
ç
÷÷£ v x
ç
v x £ sup
log f (x)
+ e, "x Î E
.
( )
( )
ç
j
÷
1£ j£ m ç
d
÷
ç
è
ø
j
Chứng minh chi tiết hơn (xem [Zr]).
Kết quả này có một hệ quả thú vị, bây giờ chúng ta sẽ mô tả nó.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Cho U Ð X là một tập con mở, cố định, khác rỗng. Với một tập compact
K Ð X và
* , định nghĩa hằng số Chebyshev dth của
đối với giống
K
U
d Î ¥
như hằng số sau:
t (K,U) := inf f 1/ d ; f Î Ad (X ), f = 1 .
{
}
d
K
U
Dễ ràng thấy rằng:
t d+ d '(K,U)d+ d ' £ t d(K )d t d '(K )d ', "d ³ 1, "d ' ³ 1.
Suy ra đẳng thức sau xảy ra:
t (K ,U) := inf t d (K,U) = lim t d(K,D).
d³ 1
d® + ¥
Hằng số này được gọi là hằng số Chebyshev của
Kết quả sau là hệ quả của Định lý 1.2.1:
K
đối với U.
1.2.3. Hệ quả. Cho một tập con mở khác rỗng U Ð X , với bất kỳ tập compact
K Ð X , chúng ta có:
capg(K ,U) = t (K ,U).
ở đây dung lượng có thể tính toán được đối với thế vị parabolic xác định trên
g
X
bởi công thức (1.7).
Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ định nghĩa hàm Green đa phức với trọng kỳ
dị logarit trên đa tạp siêu lồi.
1.3. Các số Lelong đối với hàm đa điều hòa dƣới
N
Cho
D
là một tập con mở trong
£
và ký hiệu PSH D là nón các
( )
hàm đa điều hòa dưới u : D ® - ¥ ,+ ¥ trên
D
không đồng nhất với
- ¥
[
]
trên bất kỳ thành phần nào của
D
.
Cho u Î PSH D , với a Î D và 0 < r < da = dist(z, £ N \ D), đặt
( )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Mu (a,r) =
,
ò u(a + rx)ds (x)
x = 1
là độ đo được chuẩn hóa trên hình cầu đơn vị trong N . Như đã biết
ds(x)
£
hàm
tăng và lồi theo logr . Khi đó tồn tại giới hạn :
r ® Mu(a,r)
Mu (a,r)
.
n(u;a) = lim
r ® 0+
logr
Theo C.Kiselman ([Ks]), định nghĩa này trùng với định nghĩa của P.Lelong
(xem [Ll]):
s u (B(a,r))
w2n- 2r2n- 2
(1.9)
n(u;a) = lim
,
r ® 0+
N - 1
trong đó w2n- 2 là thể tích của hình cầu đơn vị trong
và
£
1
1
s u =
Vun =
ddcu Ùbn- 1
,
2p
2p
b
là dạng tiêu chuẩn Kalherian của N . Số được định nghĩa trong công thức
£
ddcu
u
tại điểm , hoặc là mật độ của tại
(1.9) được gọi là số Lelong của dòng
a
điểm . Số Lelong không phụ thuộc vào việc thay đổi chỉnh hình của các tọa
a
độ (xem [Dm3]). Do đó có thể định nghĩa số Lelong đối với các hàm đa điều
hoà dưới trên các đa tạp phức.
Theo một định lý của Siu ([Su]), với u Î PSH D , các tập hợp
( )
A(u,c) := z Î D; n(u,z) ³ c , c > 0
,
{
}
là tập con giải tích của . Đặc biệt, nếu u- 1(- ¥ ) Ð D , thì các tập hợp
A(u,c)(c > 0) là các tập con hữu hạn của
D
D
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
1.4. Hàm Green đa phức với cực logarit trên đa tạp siêu lồi
Từ bây giờ trở đi, ta luôn giả sử rằng là một đa tạp siêu lồi có số chiều thuần
D
n
túy theo nghĩa Stehlé ([Ste]) nghĩa là tồn tại một hàm chỉnh hình thực sự
.
r : D ®
[
- 1,0
là hàm đa điều hòa dưới liên tục sao cho tập
]
)
Giả sử
j : D ®
[
- ¥ ,+ ¥
cực của được xác định bởi
j
Sj = z Î D;j (z) = - ¥
{
}
là tập compact và tập mật độ của
j
được xác định bởi
Aj = a Î D; v(j ;a) > 0
{
}
là trù mật trong Sj và giao với mỗi thành phần của
.
D
Một hàm như vậy được gọi là hàm đa điều hòa dưới chấp nhận được trên
.
D
Với mỗi hàm đa điều hòa dưới chấp nhận được
trên
D
, ta kết hợp với một
j
hàm Green đa phức tổng quát được cho bởi công thức sau:
G (z;j ) = sup u(z);u Î P (D,j )
,
}
{
D
0
u
trong đó P0(D,j ) ký hiệu là lớp các hàm đa điều hòa dưới trên
trên và n(u;.) ³ n(j ;.) trên
Ví dụ 3. Giả sử là một miền siêu lồi trong
D
sao cho
D
D
.
u £ 0
N
D
£
và
j a(z) := log z - a
a Î D
,
Khi đó hàm GD(.;j ) trùng với hàm Green đa phức GD(.;a) với cực logarit tại
a
điểm a , nó đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như: Klimek ([Kl1]).
Demailly (Dm 2]).
A := (a , n ),........,(a , n ) Ð D ´ R *
Tổng quát hơn, cho
và tập
{
}
1
1
p
p
+
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
p
j (z) =
nj log z - aj , z Î D.
å
A
j = 1
Khi đó hàm Green
kết hợp với hàm chấp nhận được là
GD(.;j ) = GD(.;A)
A
hàm Green đa phức với một số hữu hạn các cực trọng số được xét bởi Lelong
([Ll ]) và Zahariuta ([Zh2]).
Theo Demailly và Lelong, hàm
là liên tục và thỏa mãn phương trình
GD(.;A)
Monge - Ampère phức:
p
(ddcG (.;A))n = (2p)n
nnj d
å
D
aj
j = 1
theo nghĩa dòng trên
Ví dụ 4. Giả sử
Dirichlet cổ diển và
các điểm cực trị trong
D
.
D
là một miền bị chặn của , chính quy đối với bài toán
£
K
là tập con compact cực của
D
. Khi đó tồn tại một dãy
các số thực dương sao cho
j³ 1
a
K
và dãy
e
{ j }
{ j }
j³ 1
hàm được định nghĩa bởi :
y (z) =
+ ¥
ej log z - aj
å
j = 1
là điều hòa dưới trên £ , điều hòa trên £ \ K và Sy = y - 1 - ¥ = K
Khi đó hàm Green của
.
D
kết hợp với hàm điều hòa dưới chấp nhận được
y
,
hàm mà chúng ta đã ký hiệu là
G
, trùng với hàm
¥
¢
( )
G z =
e G z,a với z Î D và
D ( )
å
j
j
j = 1
SG =
{
z Î D;G z = - ¥
}
= Sy =
{
z Î D;y z = - ¥
}
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
+ ¥
¢
Thật vậy, rõ ràng DG =
ejd = Dy và n(y ,aj ) = ej với mọi
. Theo
j ³ 1
å
aj
j = 1
Định lý 1.4.1 (sẽ được chứng minh ở dưới), ta có
DG =
n(y,a)d
å
a
aÎ Ay
¢
Từ đó suy ra
theo nghĩa độ đo trên . Điều này có nghĩa
DG = DG = Dy
D
¢
¢
¢
là
và
là điều hoà trên
D
. Vì thế SG = SG = Sy = K và vì
G - G
G - y
tiến tới 0 tại biên của , nên theo nguyên lý cực đại suy ra
G = G
¢
¢
.
và
G
G
D
K
Do đó SG = K . Tức là tập cực của hàm Green trùng với tập compact cực
đã cho.
Bây giờ, chúng ta xét một định lý quan trọng sau:
1.4.1. Định lý. Hàm Green G = G .;j là hàm duy nhất thoả mãn các tính
D ( )
chất sau:
G Î PSH(D) ÇL¥loc(D \ K ),
i)
trong đó K = Sj
.
ii)
khi z ® ¶D
G z ® 0
iii)
n(G,a) = n(j ,a), " a Î D,
đặc biệt G(a) = - ¥ nếu n(j ,a) > 0
.
iv) (ddcG)n = (2p)n u(j ;a)n d theo nghĩa dòng trên
.
D
å
a
aÎ Aj
Chứng minh: Ký hiệu
, chúng ta có thể cắt hàm
dựng một hàm đa điều hoà dưới
G
là hàm Green GD(.;j ). Sử dụng hàm vét cạn bị chặn
r
j
ngoài một lân cận của tập compact Sj và xây
°
j
°
thoả mãn j + b = j trên một lân cận của
a > 0, b
là hằng
%
Sj
j = ar
trên một lân cận của biên của
và
D
, trong đó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
số thực. Điều đó đã chứng minh rằng
và cho lời giải đầy đủ, đó
P0(D,j ) ¹ Æ
là:
°
j £ G trên
D
.
Theo một kết quả cổ điển của Lelong, mở rộng nửa liên tục dưới G* là đa điều
°
°
hoà dưới trên . Vì j £ G trên và
trên một lân cận của biên của
trên một lân cận của Sj , nên
j + b = j
D
D
j = ar
°
, nên suy ra ii) được thoả mãn. Vì
D
ta kết luận:
trên
.
n
G;.
( )
£ n(j ;.)
D
Bây giờ xét một dãy tăng
A
các tập hữu hạn sao cho Aj =
Aj
.
( )
j
U
j
Ký hiệu Gj là hàm Green đa phức trên
D
liên kết với hàm chấp nhận
được j (z) :=
n(j ;a)log z - a . Rõ ràng (Gj ) là một dãy giảm các hàm đa
å
j
aÎ Aj
điều hoà dưới trên
D
sao cho G(.;j ) £ Gj , "j.. Vì thế giới hạn G = lim Gj
j ® + ¥
là đa điều hoà dưới trên
thấy rằng từ định nghĩa
D
và thoả mãn bất đẳng thức
trên
D
. Dễ dàng
G £ G
%
và n G;. ³ n j ;. trên
D
G
, suy ra
trên
G £ G
G £ 0
%
( )
( )
D
. Vậy, chúng ta có
trên and G;.
G;. £ n(j ;.) trên
G = G = lim Gj trên , suy ra
D
là đa điều hoà dưới
j ® + ¥
%
D
n
(
)
= n G;. ³ n j ;. trên
( )
D
. Bất đẳng thức này và
( )
suy ra
i) và iii). Hơn nữa, vì
G = lim Gj
trên
D
,
n
(
)
D
j® + ¥
nên theo Định lý hội tụ của Demailly ([Dm3]) và công thức
p
(ddcG (.;A))n = (2p)n
nnj d ta có iv).
å
D
aj
j = 1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Chƣơng 2
XẤP XỈ CÁC HÀM CHỈNH HÌNH
Trong chương này chúng ta sẽ trình bày xấp xỉ đa thức tốt nhất và tính
đại số đồng thời trình bày xấp xỉ tốt nhất của hàm chỉnh hình trên miền siêu lồi.
2.1 Bất đẳng thức đa thức trên đa tạp con đại số
N
n
Giả sử
là một đa tạp con đại số của
có số chiều . Giả sử
là
X
£
K
một tập con compact của
X
và
m
là một độ đo dương trên
K
.
2.1.1. Định nghĩa. Cặp (K, m)) được gọi là thoả mãn điều kiện L* tại một
( )
( )
nếu với mọi họ F Ð A X , thoả mãn sup f x ; f Î F < + ¥
( )
điểm
x0
{
}
m- hầu khắp nơi trên
, thì với mọi b > 1 họ
K
F := b- deg )f; f Î F
(
f
{
}
b
bị chặn địa phương trong một lân cận của điểm 0 . Nếu (K, m) thoả mãn điều
x
kiện L* tại mọi điểm x Î K , chúng ta nói rằng (K, m) thoả mãn điều kiện
( )
L*
.
( )
m
2.1.2. Định nghĩa. Ta nói rằng
là một độ đo determining trên
K
, nếu với
mọi tập con borelian E Ð K , sao cho m E = m K . Thì gE* = gK* trên
X
.
( ) ( )
Theo Định 1.1.7, với bất kỳ một tập con compact không đa cực K Ð X , độ
đo cân bằng là một độ đo determining trên
K
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
2.1.3. Định lý. Cho
là một tập con compact không đa cực của
và
m
là
K
X
một độ đo dương trên
. Khi đó các mệnh đề sau xảy ra:
K
(1) Giả sử
m
là độ đo determining trên
. Khi đó với mọi họ
,
)
K
F Ð A
(
X
( )
sao cho sup f x ; f Î F < + ¥
{
m
- hầu khắp nơi trên , ta có:
K
}
æ
ç
è
ö
1
÷
ç
( )
* ( )
(2.1) lim sup sup log f x ; f Î F , deg f £ d £ g x
,
"x Î X
là L- chính
( )
÷
K
ç
÷
ø
d® + ¥
d
L*
x0
K
Nói riêng, (K ,m) thoả mãn điều kiện
tại
khi và chỉ khi
( )
quy tại
nghĩa là
liên tục tại
.
x0
gK
x0
L*
nếu
K
là L- chính quy và
(2)
thoả mãn điều kiện
m
là một độ đo
(K ,m)
( )
determining trên
K
.
ì
ü
ï
ï
ï
ï
( )
Chứng minh: Đặt E = x Î K ;sup f x < + ¥
í
ý
ï
ï
f Î F
ï
ï
þ
î
Theo giả thiết m E = m K và
( ) ( )
m
là độ đo determining trên
K
, ta có
gE* = gK* . Từ định lý 1.1.5 suy ra
E
không đa cực trong
X
. Vì
M = 1/ deg
(
f
)
)
log f ; f Î F Ð L
(
X ,g
)
(
{
}
bị chặn dưới tại mỗi điểm của , nên theo Bổ đề 3.10 ([Zr])
là họ bị chặn
E
M
dưới địa phương các hàm đa điều hoà dưới trên
X
. Giả sử
= d}
1
v = lim sup(sup{ log f ; f Î F , deg
(
f
)
d® + ¥
d
v*
và
trên
minh.
là mở rộng nửa liên tục trên . Do đó theo định nghĩa của
E
, ta có
v £ 0
E
, điều này kéo theo u £ u* £ gE* = gK* , trên
X
. (2.1) được chứng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Từ (2.1) suy ra
tại 0 .ý
là L-chính quy tại , khi đó
thoả mãn điều kiện
(K, m)
K
x0
L*
x
( )
Phần
đảo
lại
suy
ra
từ
Định
lýýýýý
1.2.1,
vì
họ
F := f ; f Î A , f = 1,d ³ 1
bị chặn đều trên
. Mệnh đề (1) được
K
{
}
d
K
chứng minh.
Để chứng minh mệnh đề (2) của Định lýýý, ta chỉ cần chứng minh rằng nếu
là một độ đo determining trên . Giả sử
(K, m) thoả mãn điều kiện L* thì
K
m
( )
E Ð K là một tập con borelian sao cho m(E ) = m(K ) và cố định v Î L X
( )
sao cho
Ta sẽ chứng minh u/ K £ 0. Giả sử tồn tại x0 Î K và
u / E £ 0.
e > 0 sao cho u(x0) > 2e
Trước tiên chú ý rằng theo chứng minh của Định lýí xấp xỉ trong ([Zr], Định
.
u
lí 4.4), không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử liên tục trên
X
. Khi đó theo
d1,...,dm
Bổ đề xấp xỉ 1.2.2, tồn tại một dãy số nguyên dương
và dãy hàm đa
f1,..., fm
thức
với f Î A X , j = 1,..., m sao cho:
( )
dj
j
1
1
(2.2)
sup
log fj £ v trên
K
và sup
log fj (x0) > e > 0.
1£ j£ m
dj
1£ j£ m
dj
Vì
trên
E
và m(E) = m(K ), nên họ F := {fjk ;1 £ j £ m, k ³ 1} là
v £ 0
m- bị chặn hầu khắp nơi trên . Vì thế họ
K
F := exp - kd e f k ;1 £ j £ m, k ³ 1
( ) j
{
}
e
j
bị chặn đều trong một lân cận của x0 , điều này kéo theo v(x0 ) £ e và dẫn tới
W
mâu thuẫn với (2.2).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
£
L*
đã được nghiên cứu bởi Nguyen T.V ([Ng])
( )
N
Trong
điều kiện
và khái niệm độ đo determining đã được giới thiệu bởi Levenberg ([Lv]), người
đã chứng minh phần hai của định lí trong trường hợp này.
Bây giờ chúng ta quan tâm đến hệ quả sau là sự hoàn thiện của bất đẳng thức
Bernstein-Markov.
2.1.4. Định lí. Giả sử
là một tập con compact không đa cực của
và
m
K
X
là một độ đo determining trên
r > r0
:= supxÎ K expg* x , đều tồn tại một lân cận U của
hằng số C = C r, p > 0 sao cho:
K
. Khi đó với bất kỳ số mũ p > 0, và bất kỳ
và một
(
K
)
K
(
)
K
( )
(
BM
)
f
£ Crd f p,m ." f Î Ad (X ), " d ³ 1,
p
U
1
p
p
:= (ò f dm)
trong đó
f
.
p,m
K
Chú ý rằng nếu
K
là L - chính quy thì r K = 1 và ta được bất đẳng thức
0 ( )
Bernstein-Markov.
Chứng minh.
Vì
K
không đa cực trong
X
, và
m
là một độ đo determining trên
K
nên theo Định lí 1.1.5 suy ra với mọi f Î A(X ), f ¹ 0, thì
f
p,m > 0. Để
chứng minh
(
BM
)
p , thì ta chỉ cần chứng minh ước lượng sau:
lim sup(sup{ f / f p,m ;f Î Ad(X ), f ¹ 0}) £ r0(K ).
K
d® + ¥
Giả sử rằng đảo lại là đúng, khi đó tồn tại một số thực rj > r0
(
K
)
, một dãy
tăng các số nguyên dương và một dãy hàm đa thức khác không
d
f
( )
( j )
,
j
j³ 1
j³ 1
với fj Î Ad , j Î ¥ *, sao cho:
j
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
(2.3)
fj ³ r1dj fj
.
" j Î ¥ *.
p,m
K
Tiếp theo xét dãy:
fj
j Î ¥ *
.
Fj :=
,
fj
p,m
Ta sẽ buộc cho họ {dj- 2 Fj ; j ³ 1} là bị chặn m- hầu khắp nơi trên
. Thật
p
K
vậy, đặt:
Sm,j := {x Î K : dj- 2 Fj (x)r ³ m},
Sm =
Sm,j
U
j³ 1
p2
m1 å
I
và chú ý rằng m(Sm ) £
dj- 2 £
.
Khi đó S =
Sm là tập con
bị chặn tại mỗi
6m
m ³ 1
j³ 1
{dj- 2 Fj ; j ³ 1}
p
borelian của
K
thoả mãn m(S) = 0, và họ
{d- 2 Fj ; j ³ 1}
m-
hầu khắp nơi trên
p
điểm của
. Vậy
là bị chặn
K
.
K \ S
j
Bởi vậy theo Định lí 2.1.3, ta có ước lượng sau:
1
(2.4)
lim sup( log Fj(x)) £ gK* (x), "x Î X .
j ® + ¥
dj
Lấy số thực r2 sao cho r K < r < r1 . Vì K Ð {x Î X ;gK* (x) < logr2}, nên
0 ( )
2
áp dụng Bổ đề Hartogs trên
X
([Zr]), từ (2.4) ta thu được bất đẳng thức sau:
1
lim sup( log Fj ) £ logr2,
K
j ® + ¥
dj
W
điều này mâu thuẫn với ước lượng (2.3). Vậy định lí được chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
2.2. Định lí Bernstein-Walsh trên đa tạp con đại số
Trong mục này chúng ta giả sử là một đa tạp con đại số
chiều của
n -
X
N , và giữ nguyên các kí hiệu như trong 1.2.
£
Với một tập con mở WÐ X , ký hiệu
là không gian Frechet các
O
(
W
)
hàm chỉnh hình trên
W
, với tôpô hội tụ đều địa phương trên
W
. Với một tập con
compact K Ð X , kí hiệu O K là không gian mầm các hàm chỉnh hình trong
( )
một lân cận của , được trang bị tôpô giới hạn qui nạp.
K
Cho
f
là một hàm phức liên tục trên một tập compact K Ð X , ta định
nghĩa:
(2.5)
ed (f,K ) := inf{ f - P ; P Î Ad (X )}, d Î ¥ *
.
K
Đó là sai số bậc
trên
Ta có ước lượng đối với tốc độ hội tụ tới 0 của sai số này.
2.2.1. Định lý. Cho là tập con compact không đa cực của
là đa điều hoà dưới trên
. Khi đó với mọi r > r K := sup expg* và
với mọi q > 0, tồn tại một hằng số c r,q > 0 sao cho:
d
trong xấp xỉ tốt nhất của
f
bởi đa thức theo chuẩn đều
K
.
K
X
, sao cho gK*
X
0 ( )
(
)
K
K
( )
(2.6)
ed (f,K ) £ c(r,q)r- d
f
, "f Î O W , "d ³ 1
.
( )
r + q
W
r + q
Định lí này được biết giống như định lí Berstein-Walsh và đã được chứng minh
trong ([Zr]).
N
2.2.2. Chú ý. Nếu
thì gK* là đa điều hoà dưới trên
luôn là đa điều hoà dưới ngay cả khi gK* = gK , giống như các ví dụ đã chỉ ra
(xem [Zr]). Hơn nữa, nếu
không đa cực, thì gK* là đa điều hoà dưới yếu trên
X
là bất khả qui địa phương như một tập giải tích của
,
£
X
. Trong trường hợp tổng quát gK* không phải
K
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
và nó có thể cho một dạng yếu của Định lí Berstein-Walsh theo cách sau
X
đây: Cho hàm đa điều hoà dưới và vét cạn
, tập
)
v Î L
(
X
, và r0 v := sup exp v . Khi đó
W v :=
{
x Î X : v x < logr
}
, r ³ 1
r
K
ước lượng (2.6) xảy ra với W v thay cho
, và r0 v thay cho
,
)
W
(
K
)
r0
(
K
r
r
chú ý rằng trong trường hợp nếu
, ta có
(xem
)
Ð W v
Zr
[ ]
).
v / K £ 0
W
(
K
r
r
2.3. Tiêu chuẩn đại số đối với đa tạp con giải tích.
Trong phần này, chúng ta sẽ trình bày tiêu chuẩn địa phương về tính đại
N
số của đa tạp con giải tích của
.
£
N
n
Giả sử là một đa tạp con giải tích bất khả qui của
có số chiều .
Y
£
Kí hiệu A(Y ) =
Ad(Y ) , đại số phân bậc các hàm đa thức trên
nghĩa là
Y
U
d³ 1
với mỗi số nguyên dương
các đa thức chỉnh hình trên
d
,
Ad(Y ) là không gian tuyến tính hạn chế tới
Y
N
d
, có bậc lớn nhất là .
£
Với một tập con mở không rỗng cố định U ÐY , ta có thể dễ dàng định
nghĩa như trong trường hợp đại số, hằng số Chebyshev của tập compact đối
với trong bởi công thức:
K
U
Y
t
(
K,U
)
= lim t d
(
K,U
)
= inf t d
(
K,U
)
,
d® + ¥
d³ 1
1/ d
trong đó t d
(
K,U
)
:= inf f
: f Î Ad (Y ), f = 1
.
}
{
K
U
2.3.1. Định lí. Cho Y Ð £ N là đa tạp con giải tích bất khả quy có số chiều là
n
. Khi đó các điều kiện sau là tương đương :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
N
(1)
là đa tạp con đại số của
Y
£
(2) Tồn tại một thế vị parabolic
trên
sao cho
g :Y ®
[
- ¥ ,+ ¥
]
Y
trên
.
log(1+ z ) = O(g(z))
Y
¥
(3) Tồn tại một tập con compact E Ð Y sao cho
.
LE Î Lloc(Y )
(4) Tồn tại một tập con mở khác rỗng U ÐY và một tập con compact E Ð Y
sao cho
.
t (E,U) > 0
Chứng minh: Điều kiện (1)
(2) theo tiêu chuẩn Rundin - Sadullaev xem
Þ
trong ([Rd], [Sd]), giống như trong mục 1.2, ở đó nó đã được sử dụng để xây
dựng một thế vị parabolic thoả mãn (1.8).
(
2
)
Þ
(
3
)
là rõ ràng bởi vì (2) suy ra với bất kỳ tập compact E Ð Y ta có
lp £ gE
E
g
trên
X
, và theo Định lí 1.1.5 nếu
không đa cực trong , thì
là
Y
E
bị chặn địa phương trên . Vậy (3) được chứng minh.
Y
L
Nếu (3) thoả mãn thì theo định nghĩa của
ta có:
E
d
f z £ f
L z , "z Î U;"f Î A
( )
(
Y
)
, "d Î N *
E
d
E
Bây giờ cố định một tập con mở không rỗng U ÐY . Khi đó do (3),
M := sup L z ;z Î U < + ¥ và bất đẳng thức trên, ta có ;
{
}
E
r
(
E,U
)
³ 1/ M > 0
.
Vậy (4) được chứng minh .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
(4) (1): Trước tiên chú ý rằng do (4),
và ta có:
)
< + ¥
Þ
R := 1/ t
(
E,U
(2.7)
Trước tiên chúng ta chứng minh nhận xét sau:
Nhận xét: Với mọi tập mở, liên thông khác rỗng U0 Ð U và mọi tập con
f z £ f Rd, "z Î U, "f Î Ad
(
Y
)
, "d Î ¥ *
E
compact không đa cực K Ð U0 , ta có t K,U > 0
( )
.
0
Thật vậy, đặt:
1
( )
( )
(*) y z = sup log f z ;f Î A Y , f £ 1,d ³ 1 , z Î U
.
d ( )
E
d
Theo bất đẳng thức (2.7), ta có y z £ logR, "z Î U . Giả sử rằng
K Ð U0
d
t K,U = 0, với tập compact
( )
. Khi đó tồn tại một dãy tăng
( )
j
0
j³ 1
các số nguyên dương và một dãy
f
các hàm đa thức sao cho
( j )
j³ 1
fj Î Adj
(
Y
)
, "j ³ 1 và ước lượng sau xảy ra:
1/ dj
(**)
fj = 1, lim f
= 0
( )
j
Uo
K
j ® + ¥
Đặt
fj z
fj
1
, z Î U, j Î ¥ *
( )
wj z =
log
.
dj
K
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
24
Khi đó
là đa điều hoà dưới trên U0 và theo (*), (**), nó thoả mãn các ước
wj
lượng sau đây:
i)
sup w z ;z Î K = 0, "j Î ¥ *
,
{
}
j
ii)
khi j ® + ¥
m = sup w z ;z Î U ® + ¥ ,
{
}
j
j
0
w z £ sup w z ;z Î E + y z , "z Î U , "j Î ¥ *
iii)
{
}
j
j
o
Theo ii)
,
iii) và Bổ đề Hartogs, tồn tại
z Î U
sao cho:
0
0
æ
ç
ö
w z
j ( 0 )- 1 = 0
÷
÷
÷
÷
lim sup
ç
ç
ç
è
j® + ¥
m j
ø
Khi đó bằng cách xét một dãy con, nếu cần, ta có thể giả sử rằng:
wj (z0)
1
2j
- 1 > -
,
"j Î ¥ *
.
mj
Bởi vậy hàm được định nghĩa bởi công thức:
+ ¥
wj (z)
w(z) =
(
- 1), z Î U0.
å
mj
j= 1
U
iii)
là đa điều hoà dưới trên 0 . Theo
ta có w(z0) > - ¥ và theo
i)
w(z) = - ¥ với z Î K , do đó
K
là đa cực. Nhận xét được chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
25
Tải về để xem bản đầy đủ
58 trang
11/04/2025
450
Bạn đang xem 30 trang mẫu của tài liệu "Luận văn Hàm Green đa phức và xấp xỉ các hàm chỉnh hình", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.
File đính kèm:
- luan_van_ham_green_da_phuc_va_xap_xi_cac_ham_chinh_hinh.pdf
