Báo cáo Nghiên cứu thiết kế, chế tạo các robot thông minh phục vụ cho các ứng dụng quan trọng

BỘ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

CHƯƠNG TRÌNH KC.03

YZ YZ YZ YZ YZ YZY YZ YZ YZY YZ YZ YZY

“NGHIÊN CỨU THIẾT KẾ, CHẾ TẠO CÁC ROBOT THÔNG

MINH PHỤC VỤ CHO CÁC ỨNG DỤNG QUAN TRỌNG”

MÃ SỐ: KC.03.08

BÁO CÁO CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

THEO NHIỆM VỤ 3 - ĐỀ TÀI KC.03.08

Nhãm s¶n phÈm robot re

HÀ NỘI 2006

MỤC LỤC

3

7

I. Giới thiệu chung

II. Tổng quan về kỹ thuật tái hiện ngược và những vấn đề cơ bản về mô

phỏng các đường cong, mặt cong không gian

2.1. Giíi thiÖu chung vÒ kü thuËt t¸i hiÖn ng−îc

2.1.1. Qu¸ tr×nh thiÕt kÕ

7

8

9

2.1.2. Qu¸ tr×nh “s¶n xuÊt ng−îc”

2.1.3. Qu¸ tr×nh kü thuËt t¸i hiÖn ng−îc

2.1.4. øng dông kü thuËt t¸i hiÖn ng−îc

2.1.5. C¸c lo¹i ®Çu dß sè hãa

10

11

14

31

32

37

38

42

43

44

55

2.1.6. C¸c m¸y ®o phôc vô kü thuËt t¸i hiÖn ng−îc

2.2. Ph−¬ng ph¸p m« t¶ ®−êng cong trªn m¸y tÝnh

2.2.1. C¸c phÐp néi suy vµ xÊp xØ ®−êng cong

2.3. Ph−¬ng ph¸p m« t¶ c¸c mÆt cong trªn m¸y tÝnh

2.3.1. Giíi thiÖu chung vÒ mÆt cong

2.3.2. C¸c mÆt cong tù do

2.4. §Æt vÊn ®Ò vÒ néi dung nghiªn cøu

III. Nghiên cứu, thiết kế, chế tạo Robot RE

3.1. Nghiªn cøu thiÕt kÕ, chÕ t¹o Robot RE

3.1.1. Giíi thiÖu chung

3.1.2. §éng häc Robot RE-01

3.1.3. Ch−¬ng tr×nh tÝnh to¸n ®éng häc Robot RE-02

3.1.4. HÖ ph−¬ng tr×nh ®éng häc cña robot RE-01

3.1.5. Ph−¬ng ¸n chÕ thö Robot RE-01

1

3.2. ThiÕt kÕ Robot RE - 02

56

57

58

73

74

81

82

3.2.1. Ph©n tÝch kÕt cÊu

3.2.2. ThiÕt kÕ c¬ cÊu d¹ng pantograph

3.2.3. TÝnh to¸n c¬ cÊu tay m¸y pantograph

3.3. TÝnh to¸n vÒ ®é chÝnh x¸c cña robot RE - 02

3.3.1. Tæng quan vÒ sai sè phÐp ®o dïng c¬ cÊu tay ®o

3.3.2. TÝnh to¸n sai sè cña robot RE

IV. Nghiªn cøu, thiÕt kÕ, chÕ t¹o Robot RE-03 ho¹t ®éng theo täa ®é trô

4.1. Giíi thiÖu chung

4.2. C¸c m«®un hîp thµnh Robot RE-03

V. X©y dùng c¸c ch−¬ng tr×nh phÇn mÒm t¸i hiÖn bÒ mÆt cong kh«ng gian 100

5.1. C¬ së thuËt to¸n x©y dùng c¸c ®−êng cong vµ mÆt cong kh«ng 100

gian

5.1.1. C¸c thuËt to¸n x©y dùng ®−êng cong

100

5.1.2. Ph−¬ng ph¸p x¸c ®Þnh ®iÓm tùa vµ l−u tr÷ d÷ liÖu cña 104

®−êng cong

5.1.3. Mét sè vÝ dô t¸i hiÖn ®−êng cong

105

5.1.4. Mét sè kÕt qu¶ t¸i hiÖn ®−êng cong ®−îc thùc hiÖn b»ng 107

robot RE

5.2. C¬ së thuËt to¸n x©y dùng mÆt cong kh«ng gian

5.3. ThuËt to¸n qu¶ bãng r¬i

109

123

127

133

143

145

5.4. X©y dùng ch−¬ng tr×nh m¸y tÝnh

5.5. Ch−¬ng tr×nh phÇn mÒm t¸i hiÖn c¸c bÒ mÆt cong phøc t¹p

VI. KÕt luËn

Tµi liÖu tham kh¶o

2

b¸o c¸o tãm t¾t C¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu

nhiÖm vô 3 ®Ò tµi kc.03.08

nhãm s¶n phÈm robot re

I. Giíi thiÖu chung

Robot RE là gọi tắt tên một nhóm robot phục vụ kỹ thuật tái hiện

ngược (Reverse Engineering). Nhận xét rằng, cơ cấu của các máy đo toạ độ

CMM (Coordinate Measuring Machines) rất quen biết trong công nghiệp,

cũng như cơ cấu của các thiết bị tay đo hoặc CMM cầm tay (Portable

coordinate measuring machine - PCMM) đều có cấu trúc động học như các

loại cơ cấu robot. Trên cơ sở nhận xét đó hoàn toàn có thể vận dụng và phát

triển các phương pháp nghiên cứu kỹ thuật robot để nghiên cứu các thiết bị

đo CNC, kể cả phần cứng và phần mềm. Các phương pháp hiện đại trong

kỹ thuật robot tỏ ra có nhiều ưu điểm nổi trội so với các phương pháp kinh

điển khi vận hành khai thác các thiết bị CMM. Như đã biết các thiết bị

CMM kinh điển, các rất đắt tiền. Nhiều xí nghiệp đang có nhu cầu bức súc

trang bị các thiết bị này.

Trên hình 1 là ví dụ về máy CMM và khi được lắp thêm loại đầu đo

có thể quay nghiêng so với trục thẳng đứng, ví dụ đầu đo hình 2. Trong

trường hợp này sơ đồ động của máy CMM ngoài 3 bậc tự do chuyển dịch

theo 3 trục toạ độ còn có các bậc tự do bổ sung để tạo các độ nghiêng của

trục đầu đo.

3

Hình 1 Máy đo CMM

Hình 2. Đầu đo quay nghiêng được

Còn trên hình 3 là một kiểu PCMM để bàn. Đó là tay đo 6 bậc tự do

Spin Arm của hãng Mitutoyo. Ngoài ra còn có Micro Scribe 3D, Stringer

PCMM, 3000i của Cim Core. Sơ đồ động của các thiết bị này đều là những

cơ cấu chuỗi hở, như nhiều loại cơ cấu tay máy robot thường gặp.

4

Hình 3. Máy PCMM để bàn

Một vấn đề quan trọng của thiết bị CMM là nâng cao độ chính xác đo

lường. Ngày nay có xu thế không đơn thuần nỗ lực nâng cao độ chính xác

chế tạo thiết bị, vì đó là những việc rất khó khăn và rất đắt tiền. Vì thế

người ta còn đồng thời nghiên cứu đề xuất những phần mềm có thể suy luận

của phép đo với số làn đo ít nhất có thể.

Với cách đặt vấn đề như trên, Đề tài đã triển khai đề mục nghiên cứu

các nhóm sản phẩm robot RE với các nội sung sau:

1. Vận dụng các phương pháp của robotics để nghiên cứu các đặc

tính hình động học, nhất là độ chính xác của các cơ cấu máy CMM

2. Xây dựng các chương trình phần mềm tái hiện các bề mặt phức tạp

với số phép đo tối thiểu.

3. Nghiên cứu cải tiến các cơ cấu thiết bị CMM để có khả năng hiện

thực trong điều kiện chỉ có các trang bị thông thường cho công nghệ chế tạo.

5

Trong lĩnh vực này Đề tài đã nhận được các kết quả qua:

1. So với các phương pháp kinh điển thì vận dụng các phương pháp

hiện đại trong robotics tỏ ra hiệu quả hơn khi giải các bài toán động học

thuận, động học ngược và bài toán di chuyển nhỏ liên quan đến độ chính

xác cơ cấu tay đo, nhất là đối với trường hợp cơ cấu nhiều khâu phức tạp.

2. Xây dựng được chương trình phần mềm tái hiện các bề mặt phức

tạp với số phép đo giảm thiểu và đã được cấp giấy bản quyền tác giả.

3. Đề xuất và tạo dựng thành công một loại thiết bị CMM kiểu mới

(hình 4), hoạt động theo tọa độ trụ Z = Z (r, ϕ), có độ chính xác đảm bảo,

mà giá thành thấp.

Hình 4 Thiết bị CMM kiểu mới hoạt động theo tọa độ trụ

6

II. TỔNG QUAN VỀ TÁI HIỆN NGƯỢC VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ

BẢN VỀ MÔ PHỎNG CÁC ĐƯỜNG CONG, MẶT CONG KHÔNG

GIAN.

2.1. Giới thiệu chung về kỹ thuật tái hiện ngược (Reverse Engineering)

“Kỹ thuật tái hiện ngược” là một khái niệm được dịch từ một thuật

ngữ tiếng Anh là Reverse Engineering (RE). Nhiều khi nó còn được hiểu và

dịch với các tên gọi khác nhau như “kỹ thuật đảo chiều” hay là “kỹ thuật

ngược”. Đây là một khái niệm còn tương đối mới mẻ không những ở nước

ta mà còn với nhiều nước trên thế giới. Thuật ngữ này xuất hiện và có bản

chất từ bài toán kỹ thuật lấy mẫu các chi tiết và vật thể với sự trợ giúp của

máy tính. Từ các mẫu vật đã có sẵn như là các tác phẩm điêu khác, các chi

tiết cần gia công nhưng không còn bản vẽ chi tiết v.v. Bài toán đặt ra là làm

sao để chế tạo được các chi tiết giống hệt với các mẫu đó. Với mục tiêu như

vậy dẫn đến ý tưởng là dựng lại mô hình bằng cách xác định tọa độ các

điểm trên bề mặt của vật thể. Tuy nhiên ta không thể đo được tất cả các

điểm của vật thể đó, vì như vậy số điểm đo sẽ rất lớn và khó có thể kiểm

soát được. Vấn đề ở đây là số điểm đo nhỏ nhất nhưng vẫn đủ để dựng lại

chính xác hình dáng hình học của vật thể. Có rất nhiều thuật toán và

phương pháp xây dựng các đường và bề mặt không gian dựa trên các điểm

tựa. Sau đây ta sẽ tìm hiểu chung về các thuật toán đó và xây dựng phần

mềm tái hiện các đường và bề mặt không gian qua các điểm tựa.

2.1.1. Quá trình thiết kế

Trong thiết kế kỹ thuật thông thường người thiết kế sẽ xuất phát từ ý

tưởng của mình về sản phẩm trong tương lai. Khái niệm ban đầu ấy được

xuất phát từ những yêu cầu cụ thể của một nhiệm vụ kỹ thuật nào đó. Với

mục đích đã được xác định ý tưởng thiết kế sẽ nảy sinh và một hình hài của

7

sản phẩm được định hình sơ bộ trong óc người thiết kế. Nó có hình dáng ra

sao, kích thước lớn nhỏ thế nào v.v. sẽ là những khái niệm đầu tiên. Với

những ý tưởng như vậy nó sẽ đựoc kết hợp với quan niệm của người thiết

kế để từng bước hình thành nên sản phẩm. Cũng như ý tưởng ban đầu thì

quan niệm của mỗi người thiết kế sẽ rất khác nhau. Từ quan niệm của mình

sẽ đi đến thiết kế chi tiết. Trong bước này các kích thước, hình dáng sẽ

được xác định và thể hiện thông qua các bản vẽ chi tiết CAD/CAM và các

chương trình gia công CNC. Bước tiếp theo của quá trình thiết kế là khâu

sản xuất dựa trên những bản vẽ chi tiết hoặc các chương trình CNC đã được

thiết lập. Kết thúc khâu sản xuất sẽ cho ta một sản phẩm hoàn thiện của qúa

trình thiết kế này.

2.1.2. Quá trình “sản xuất ngược”

Trong phần trên ta đã chỉ ra một quá trình thiết kế và sản xuất truyền

thống với quy trình được mô tả sơ lược như sau:

Ý tưởng → Quan niệm thiết kế → Thiết kế chi tiết CAD/CAM/CNC

→ Sản xuất → Sản phẩm hoàn thiện.

Trong sơ đồ này bước khởi đầu là ý tưởng về sản phẩm rồi qua các

bước tiếp theo để đi đến sản xuất ra sản phẩm cuối cùng. Quá trình “sản

xuất ngược” (tức là ngược lại quá trình sản xuất) sẽ có điểm xuất phát từ

một sản phẩm cụ thể đã có sẵn rồi thông qua sản phẩm này để quay lại quá

trình sản xuất ra nó. Lược đồ của quá trình này như sau:

Sản xuất

↓

Start → Sản phẩm hoàn chỉnh

2.1.3. Quá trình kỹ thuật tái hiện ngược

8

Quá trình này cũng có điểm xuất phát là một sản phẩm hoàn chỉnh và

nó được xem như một vật mẫu. Nhưng ở đây không như quá trình sản xuất

ngược là quay lại ngay sản xuất, mà đối với kỹ thuật tái hiện ngược còn qua

khâu thiết kế chi tiết CAD/CAM/CNC. Nghĩa là mẫu sản phẩm hoàn chỉnh

sẽ được tái hiện lại thông qua chương trình mô phỏng CAD/CAM hoặc

chương trình gia công CNC rồi từ đó sản xuất ra sản phẩm hoàn chỉnh.

Sơ đồ của quá trình kỹ thuật tái hiện ngựoc có thể được mô tả như

sau:

Thiết kế chi tiết

CAD/CAM/CNC

↓

Kỹ thuật

Sản xuất

tái hiện ngựoc

↓

Start →

Sản phẩm hoàn chỉnh

2.1.4. Ứng dụng kỹ thuật tái hiện ngược

Đúng như tên gọi của phương pháp: kỹ thuật tái hiện ngược, bài toán

đặt ra ở đây là đã có một sản phẩm hoàn chỉnh nào đó và ta cần phải dựng

lại mô hình của nó thông qua hệ thống CAD/CAM hoặc chương trình CNC.

Tiến đến việc sản xuất ra các phiên bản là sự sao chép y hệt với nguyên bản

ban đầu của nó. Với đặc điểm của phương pháp như đã nêu, kỹ thuật tái

hiện ngược có thể được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán kỹ thuật như:

- Thiết kế chi tiết dựa vào mẫu đã có

- Lưu giữ hình dáng, tính chất của mẫu vật hoặc nguyên mẫu ban đầu.

- Phục hồi những thiết kế không còn bản vẽ

9

- Đánh bóng sản phẩm

- Tạo mẫu nhanh

2.1.5. Các loại đầu dò số hóa

Qua các đặc điểm của kỹ thuật tái hiện ngược ta có thể thấy nhiệm vụ

của bài toán này là dựng lại mô hình của vật mẫu. Như vậy ta phải nắm bắt

được tọa độ các điểm trên bề mặt vật thể bằng cách đo với các phương pháp

đo tọa độ trong không gian 3 chiều. Tuy nhiên ta không thể đo được tất cả

tọa độ các điểm trên bề mặt vật thể. Vì vậy vấn đề đặt ra là với một số

lượng hạn chế các điểm đo ta vẫn dựng lại được chính xác mô hình của vật

thể thông qua các chương trình phần mềm.

Để nắm bắt được tọa độ các điểm trên bề mặt vật thể ở đây người ta

dùng phương pháp quét số hóa. Đây là phương pháp tập hợp thông tin về

hình dạng của các vật thể 2 hoặc 3 chiều. Tập dữ liệu điểm thu được có thể

dùng để thiết lập các chương trình gia công NC hoặc làm dữ liệu đầu ra của

hệ thống CAD. Các loại sensor sẽ là công cụ thực hiện việc quét số hóa này.

Sau đây ta tìm hiểu một số loại sensor thường được dùng trong kỹ thuật này.

2.1.5.1. Đầu dò điểm tiếp xúc

Với loại sensor này khi thực hiện thao tác đo, đầu dò sẽ tiếp xúc trực

tiếp với bề mặt cần đo. Tiếp điểm của đầu đo và bề mặt là tọa độ cần xác

định của phép đo.

Ưu điểm của loại sensor này là độ chính xác cao, giá thành thấp, lực

tiếp cận nhỏ. Còn nhược điểm là tốc độ xác định dữ liệu điểm chậm

2.1.5.2. Đầu quét liên tục

Đây cũng là loại đầu dò tiếp xúc, nhưng khác với loại trên chỉ ghi

nhận dữ liệu điểm khi có lệnh của người thao tác. Còn với loại sensor này

10

dữ liệu sẽ được ghi liên tục khi đầu quét di trượt trên bề mặt đo. Vì vậy tập

dữ liệu chứa một số lượng rất lớn điểm đo.

Ưu điểm của phương pháp đo này là độ chính xác tương đối cao, dữ

liệu liên tục. Nhược điểm là đầu dò có thể chệch hướng khi đo.

2.1.5.3. Đầu quét laser

Không như hai loại đầu quét kể trên là có sự tiếp xúc của đầu đo với

bề mặt cần đo. Ở đây đầu đo sẽ sử dụng kỹ thuật laser để bắt các điểm đo.

Các tia laser với cường độ lớn sẽ được phát ra đến bề mặt đo vì vậy sẽ đo

được các bề mặt lớn với khoảng cách tương đối xa. Đặc điểm nổi bật của

phương pháp này là bắt dữ liệu nhanh, đầu đo không tiếp xúc cơ học với bề

mặt, do vậy có thể đo được các bề mặt với chất liệu mềm.

Nhược điểm của phương pháp là:

- Sự giới hạn phạm vi theo chiều trục z

- Không đo được bề mặt phản xạ

- Yêu cầu bề mặt đo phải thẳng góc

2.1.6. Các máy đo phục vụ kỹ thuật tái hiện ngược

Trên đây ta đã biết đến các loại đầu dò dùng để bắt tọa độ các điểm.

Tuy nhiên nó cần phải được gắn với một thiết bị nào đó để thực hiện tốt các

thao tác của phép đo. Tùy thuộc vào độ mềm dẻo của thiết bị sẽ cho phép

các thao tác đo càng dễ dàng thực hiện, điều này phụ thuộc vào cấu trúc và

số bậc tự do của thiết bị đó. Trong thực tế các thiết bị có thể dùng để thao

tác đo rất đa dạng, nó có thể là chuyên dụng hoặc đa năng. Sau đây ta sẽ xét

đến các loại thiết bị có thể dùng cho bài toán tái hiện ngược.

2.1.6.1. Máy công cụ số hóa

11

Đây là loại máy được thiết kế chủ yếu để phục vụ việc gia công. Tuy

nhiên trong những mẫu máy mới có trang bị thêm thiết bị để kết hợp làm

nhiệm vụ “tái hiện ngược”. Bản chất của nó là máy gia công chi tiết cơ khí

với đầu mang dao thông thường có 3 chuyển động tịnh tiến theo 3 chiều của

hệ trục tọa độ Đềcác. Như vậy nếu ta thay thế đầu dao gia công bằng một

đầu dò và đặt chi tiết cần lấy mẫu lên bàn máy thì lúc này ta đã có một máy

với công dụng tương đương với máy đo tọa độ 3 chiều. Đầu dò sẽ quét trên

bề mặt của vật mẫu và ghi lại tọa độ của các điểm cần đo. Ưu điểm của

phương pháp này là:

- Tận dụng máy đã có sẵn

- Sự thao tác với máy đã quen thuộc

- Nhanh chóng hòa nhập với máy

- Vùng quét khá rộng

Bên cạnh đó cũng tồn tại những nhược điểm như:

- Chiếm dụng thời gian làm việc của máy

- Làm việc chậm với đầu dò tiếp xúc trực tiếp

2.1.6.2. Máy đo tọa độ (Coordinate Measuring Machine: CMM)

Qua tªn gäi ta còng dÔ dµng thÊy ®−îc c«ng dông chÝnh cña m¸y.

§©y lµ mét lo¹i m¸y chuyªn dông ®−îc thiÕt kÕ ®Ó x¸c ®Þnh to¹ ®é §Ò c¸c

cña c¸c ®iÓm ®o. §Çu dß th−êng dïng lo¹i tiÕp xóc vµ cã 3 chuyÓn ®éng

theo 3 trôc X, Y, Z trong hÖ to¹ ®é §Ò c¸c. M¸y ®−îc kÕt nèi víi m¸y tÝnh

PC vµ cã phÇn mÒm xö lý d÷ liÖu kÌm theo. To¹ ®é c¸c ®iÓm ®o sÏ ®−îc l−u

tr÷ trong bé nhí cña m¸y tÝnh sau ®ã ®−îc xö lý b»ng phÇn mÒm. KÕt qu¶

thu ®−îc sÏ lµ ®Çu ra cña c¸c hÖ thèng CAD/CAM m« pháng l¹i bÒ mÆt víi

®é chÝnh x¸c cao tuú thuéc vµo ®é chÝnh x¸c cña phÐp ®o còng nh− thuËt

12

to¸n vµ phÇn mÒm lµm viÖc víi d÷ liÖu. V× ®©y lµ m¸y chuyªn dông cho viÖc

sè ho¸ bÒ mÆt nªn nã cã rÊt nhiÒu −u ®iÓm næi bËt nh−:

- M¸y cã dung l−îng bé nhí l−u tr÷ d÷ liÖu lín.

- Cã vïng quÐt réng.

- KÕt nèi vµ truyÒn d÷ liÖu trùc tiÕp cho m¸y gia c«ng.

- §é chÝnh x¸c rÊt cao.

M¸y dïng lo¹i ®Çu ®o tiÕp xóc trùc tiÕp nªn nã còng tån t¹i nh÷ng

nh−îc ®iÓm cña lo¹i thiÕt bÞ nµy nh−:

- LÊy d÷ liÖu chËm.

- Møc ®é c¬ ®éng thÊp

2.1.6.3- M¸y quÐt.

Còng gièng nh− c¸c lo¹i m¸y ®o to¹ ®é ë trªn. M¸y quÐt nµy lµ mét

thiÕt bÞ chuyªn dïng cho viÖc sè ho¸ bÒ mÆt, nh−ng cã sù kh¸c biÖt ë ®©y lµ

dïng lo¹i ®Çu dß kh«ng tiÕp xóc. Do vËy tèc ®é lÊy d÷ liÖu nhanh, tiÕp cËn

®−îc víi nh÷ng vÞ trÝ khã kh¨n, nh÷ng ho¹ tiÕt nhá trªn bÒ mÆt chi tiÕt. M¸y

®−îc kÕt nèi m¸y tÝnh vµ cã phÇn mÒm thao t¸c víi d÷ liÖu nªn sÏ cho phÐp

dÔ dµng t¸i hiÖn l¹i bÒ mÆt còng nh− xuÊt kÕt qu¶ sang c¸c m¸y gia c«ng sè.

2.1.6.4- M¸y ®o to¹ ®é kiÓu tay quay.

§©y lµ mét lo¹i thiÕt bÞ sè ho¸ bÒ mÆt chuyªn dông cã cÊu t¹o pháng

sinh nh− mét c¸nh tay cã 5 bËc tù do víi liªn kÕt lµ c¸c khíp b¶n lÒ. T¹i mçi

khíp ®−îc g¾n víi mét encorder ghi l¹i chuyÓn ®éng quay t−¬ng ®èi cña 2

kh©u. Khi lµm viÖc ®Çu dß di tr−ît trªn bÒ mÆt cña vËt thÓ lµm cho c¸c khíp

quay vµ c¸c encorder sÏ ghi l¹i trÞ sè gãc quay cña tõng khíp t−¬ng øng.

Sau ®ã qua c¸c ch−¬ng tr×nh phÇn mÒm kÌm theo sÏ tÝnh to¸n chuyÓn ®æi

13

thµnh to¹ ®é ®iÓm 3 chiÒu cña ®Çu ®o. TËp hîp c¸c ®iÓm ®o nµy sÏ ®−îc xö

lý gièng nh− ®èi víi c¸c m¸y ®o kh¸c ®· t×m hiÓu ë trªn.

2.2- Ph−¬ng ph¸p m« t¶ c¸c ®−êng cong trªn m¸y tÝnh.

2.2.1- C¸c phÐp néi suy vµ xÊp xØ ®−êng cong.

C¸c ®−êng cong sö dông trong m« h×nh ho¸ h×nh häc cã thÓ ®¬n gi¶n

ho¸ chØ lµ ®−êng th¼ng hoÆc ®−êng trßn. Tuy nhiªn trong c¸c øng dông kü

thuËt ®ßi hái ph¶i cã c¸c ®−êng cong phøc t¹p h¬n. §−êng cong bÊt kú cã

thÓ biÓu diÔn b»ng ma trËn c¸c ®iÓm, tuy vËy nã ®ßi hái sù l−u tr÷ lín vµ

kh«ng thÓ biÓu diÔn chÝnh x¸c h×nh d¹ng cña ®−êng cong. V× vËy c¸c

ph−¬ng tr×nh to¸n häc, cô thÓ lµ c¸c hµm ®a thøc th−êng ®−îc dïng ®Ó thÓ

hiÖn c¸c ®−êng cong. §a thøc thÓ hiÖn c¸c −u ®iÓm næi bËt nh− vÒ sù ®¬n

gi¶n trong tÝnh to¸n c¸c gi¸ trÞ thùc (chØ dïng c¸c phÐp tÝnh nh©n vµ céng)

vµ ®Æc biÖt thuËn lîi cho viÖc tÝnh to¸n b»ng m¸y tÝnh. Bªn c¹nh ®ã c¸c øng

dông trong ®å ho¹ m¸y tÝnh th−êng ®ßi hái x¸c ®Þnh c¸c tiÕp tuyÕn vµ ph¸p

tuyÕn cña ®−êng cong, do vËy ph−¬ng tr×nh ®a thøc hiÓn nhiªn lµ sù lùa

chän tèt nhÊt cho viÖc tÝnh vi, tÝch ph©n ®−êng cong.

Trong kü thuËt c¸c ph−¬ng ph¸p to¸n häc dïng ®Ó biÓu diÔn c¸c

®−êng cong th−êng dùa trªn c¸c lý thuyÕt néi suy hoÆc xÊp xØ. Lý thuyÕt néi

suy lµ bµi to¸n thiÕt kÕ ®−êng cong ®i qua tËp hîp c¸c d÷ liÖu ®iÓm. PhÐp

néi suy ®−îc sö dông ®Ó tÝnh to¸n gi¸ trÞ c¸c ®iÓm l©n cËn. C¸c phÐp néi suy

th−êng ®−îc dïng nh−: néi suy tuyÕn tÝnh tõng khóc (®é chÝnh x¸c thÊp),

néi suy ®a thøc Lagrange, ®−êng cong tham sè bËc 3 (Hermite), ®−êng cong

spline bËc 3 ... Cßn trong lý thuyÕt xÊp xØ, ®−êng cong ®−îc thiÕt kÕ mµ

kh«ng cÇn quan t©m ®Õn chÊt l−îng cña phÐp néi suy, tiªu chuÈn quan träng

nhÊt ë ®©y lµ ®é tr¬n, lµ sù thay ®æi côc bé trong thiÕt kÕ. Do vËy ph−¬ng

ph¸p biÓu diÔn ®−êng cong xÊp xØ sÏ t¹o ra ®−êng cong tr¬n xÊp xØ c¸c ®iÓm

cho s½n chø kh«ng ®i qua chÝnh x¸c tÊt c¶ c¸c ®iÓm ®ã.

14

2.2.1.1- C¸c phÐp néi suy.

a. §a thøc Lagrange.

XÐt mét d·y c¸c ®iÓm trªn mÆt ph¼ng: (x₀, y₀), (x₁, y₁), ... (x_n, y_n)

trong ®ã x_i< y_jvíi i < j. §a thøc néi suy bËc n cã thÓ x¸c ®Þnh nh− sau:

n

f (x) =

y L (x)

∑

(2.1)

n

i

i,n

i=0

trong ®ã

n

x − x_j

L_i=

∏

(2.2)

x_i− x_j

j=0

j≠i

Cã thÓ thÊy r»ng thõa sè y_i= 1 khi x = x_inh−ng sÏ b»ng 0 khi x b»ng

bÊt kú gi¸ trÞ to¹ ®é nµo kh¸c. Víi n = 1 ta ®−îc ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng

®i qua 2 ®iÓm:

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

x − x₁

x₀− x₁

x − x₁

x₁− x₀

x₀− x

x₀− x₁

f_n(x) =

y₀−

y = y + (y − y )

1

0

1

0

+ Nh−îc ®iÓm cña ®a thøc Lagrange lµ bËc cña ®a thøc phô thuéc vµo

sè l−îng c¸c ®iÓm sö dông. NÕu cÇn ®é chÝnh x¸c cao h¬n th× sè l−îng ®iÓm

sö dông t¨ng, t¹o ra 1 ®a thøc bËc cao h¬n dÉn ®Õn cã sù dao ®éng lín vÒ

h×nh d¹ng ®−êng cong (h×nh 2.1). Trong c¸c øng dông kÜ thuËt th× c¸c dao

®éng nµy kh«ng ®−îc chÊp nhËn.

15

y

x

H×nh 2.1 Sù dao ®éng ®¸ng kÓ h×nh d¹ng ®−êng cong cña phÐp néi suy khi t¨ng sè

®iÓm sö dông.

z

P(t)

y

x

H×nh 2.2. Mét ®iÓm trªn ®−êng cong tham sè bËc ba

b. §−êng cong tham sè bËc ba (Hermite).

§−êng cong tham sè bËc ba ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau:

3

p(t) = a tⁱ; 0 ≤ t ≤ 1

(2.3)

∑

i

i=0

16

trong ®ã P(t) lµ mét ®iÓm trªn ®−êng cong (H×nh 2.2)

C¸c hÖ sè ®¹i sè a_itrong (2.3) cã thÓ biÓu diÔn râ rµng theo c¸c ®iÒu

kiÖn biªn, c¸c ®iÓm cuèi vµ c¸c vÐc t¬ tiÕp tuyÕn nh− sau:

a₀= p(0) , a₂= -3p(0) + 3p(1) - 2p'(0) - p'(1)

a₁= p'(0) , a₃= 2p(0) - 2p(1) + p'(0) + p'(1)

Thay a_ivµo (1.3) vµ s¾p xÕp l¹i ta cã:

p(t) = (2t³- 3t²+ 1)p(0) + (-2t³+ 3t²)p(1) +(t³- 2t²+ t)p'(0) + (t³- t²)p'(1) (2.4)

Ph−¬ng tr×nh (2.4) nµy ®óng cho mçi ph©n ®o¹n tham sè bËc 3 cña

tËp hîp c¸c ph©n ®o¹n (H×nh 2.3).

Tãm l¹i ®−êng cong tham sè bËc 3 ®−îc biÓu diÔn b»ng c¸c ®a thøc

bËc 3 tõng khóc víi liªn tôc vÞ trÝ vµ ®é nghiªng. C¸c gi¸ trÞ tham sè t biÕn

thiªn tõ 0 ®Õn 1 ®èi víi mçi ph©n ®o¹n.

2

−3

0

− 2

3

1

p(0)

⎡

⎢

⎤⎡

⎥⎢

⎤

⎥

⎦

− 2 −1 p(1)

3

2

⎥⎢

p(t) =

[

t t t 1

]

(2.5)

⎢

⎣

⎥⎢

⎦⎣

0

1

0

p'(0)

p'(1)

1

0

p(0), p(1), p'(0), p'(1): hÖ sè h×nh häc.

P

2

P

4

P

3

P

5

P

1

H×nh 2.3.PhÐp néi suy tham sè bËc ba tõng khóc

17

c. §−êng cong spline bËc 3.

ý t−ëng cña ®−êng cong spline dùa trªn viÖc sö dông mét thanh cong

spline dÎo, máng ®Ó vÏ ®−êng cong tr¬n ®i qua mét lo¹t c¸c ®iÓm. Thanh

spline tù nhiªn ®−îc t¹o d¸ng b»ng c¸ch liªn kÕt c¸c vËt chÆn nÆng víi

thanh tr−ît dÎo. NÕu c¸c vËt chÆn trong thanh spline ho¹t ®éng gièng nh−

c¸c gèi tùa ®¬n gi¶n th× ®−êng cong trë thµnh ®a thøc bËc 3 tõng khóc, cã

®¹o hµm bËc 2 liªn tôc t¹i mçi gèi tùa, nghÜa lµ liªn tôc vÞ trÝ, liªn tôc tiÕp

tuyÕn vµ liªn tôc ®é cong.

C¸c ®−êng cong spline bËc 3 tõng khóc cã nhiÒu −u ®iÓm khi sö dông

trong c¸c bµi to¸n kü thuËt, ®Æc biÖt khi gi¸ trÞ d÷ liÖu t−¬ng ®èi chÝnh x¸c

vµ cã sè l−îng lín, vÝ dô nh− kÕt qu¶ ®o c¬ tÝnh vËt liÖu(khèi l−îng riªng,

modun ®µn håi,…), t¸i hiÖn l¹i c¸c ®−êng cong, mÆt cong khi biÕt ®−îc mét

sè h÷u h¹n c¸c ®iÓm cña chóng.

ThuËt ng÷ “spline” trong ®å ho¹ m¸y tÝnh vµ m« h×nh ho¸ h×nh häc

dïng ®Ó chØ sù biÓu diÔn tham sè tõng khóc mét c¸ch tæng qu¸t víi møc ®é

®Æc biÖt cña sù liªn tôc tham sè. §−êng cong spline bËc ba ®−îc biÓu diÔn

bëi 1 ®a thøc bËc 3 cã ®¹o hµm bËc 2 liªn tôc t¹i c¸c ®iÓm nèi chung gi÷a

c¸c ph©n ®o¹n. ý t−ëng liªn tôc tham sè ®−îc biÓu diÔn b»ng ch÷ C in hoa

víi c¸c chØ sè ë trªn lµ 0, 1, 2,… t−¬ng øng víi c¸c cÊp ®é liªn tôc cña

®−êng cong. D¹ng ®¬n gi¶n nhÊt cña tÝnh liªn tôc lµ sù liªn tôc vÒ vÞ trÝ, vµ

®−îc gäi lµ tÝnh liªn tôc C⁰, nã b¶o ®¶m r»ng kh«ng cã sù gi¸n ®o¹n hoÆc

b−íc nh¶y trªn ®−êng cong. ë møc ®é liªn tôc C¹, ®−êng cong sÏ cã ®é dèc

hoÆc lµ ®¹o hµm bËc nhÊt liªn tôc. ë møc ®é liªn tôc C², ®−êng cong sÏ bÞ

uèn cong hoÆc lµ cã ®¹o hµm bËc 2 liªn tôc vµ t−¬ng tù nh− vËy ë c¸c cÊp

®é cao h¬n. Chó ý r»ng c¸c ®iÒu kiÖn liªn tôc nµy liªn quan ®Õn c¸c ph−¬ng

tr×nh tham sè nªn ®−îc gäi lµ ®iÒu kiÖn liªn tôc tham sè. Bªn c¹nh ®ã cßn

18

tån t¹i c¸c ®iÒu kiÖn liªn tôc kh¸c nh− lµ liªn tôc h×nh häc mµ ta kh«ng xÐt

®Õn ë ®©y.

NÕu c¸c ph©n ®o¹n cña ®−êng cong spline bËc 3 ®−îc tham sè ho¸ 1

c¸ch riªng rÏ, sao cho tham sè t biÕn thiªn tõ 0 ®Õn 1 ®èi víi tÊt c¶ c¸c ph©n

®o¹n th× ®−êng cong spline bËc 3 chuÈn nµy lµ tr−êng hîp ®Æc biÖt cña phÐp

néi suy Hermite. PhÐp néi suy nµy ®¶m b¶o tÝnh liªn tôc cña ®¹o hµm bËc

nhÊt gi÷a c¸c ph©n ®o¹n. Trong ®−êng cong spline bËc 3 nµy, c¸c gi¸ trÞ ®¹o

hµm bËc nhÊt ®−îc chän sao cho nã còng trïng víi ®¹o hµm bËc 2 .

Ma trËn hµm liªn kÕt tr¬n cho ®−êng cong spline chuÈn (t=0->1)

trong tr−êng hîp nµy gièng nh− ma trËn dïng trong phÐp néi suy Hermite:

2

− 3

0

− 2

3

1

⎡

⎢

⎤

⎥

− 2 −1

3

2

⎥

[

t t t 1

]

(2.6)

⎢

⎣

⎥

⎦

0

1

0

1

0

Hµm sè ®−êng cong spline bËc 3 ®èi víi mçi ph©n ®o¹n ®−îc x¸c

®Þnh bëi ph−¬ng tr×nh:

2

−3

0

− 2

3

1

p(0)

⎡

⎢

⎤⎡

⎥⎢

⎤

⎥

⎦

− 2 −1 p(1)

3

2

⎢

⎥⎢

p(t) =

[

t t t 1

]

(2.7)

⎢

⎣

⎥⎢

⎦⎣

0

1

0

p'(0)

p'(1)

1

0

p(0), p(1), p'(0), p'(1): hÖ sè h×nh häc.

hoÆc: P(t) = [t][M]_H[G]_H

(2.8)

ë ®©y ma trËn [t] vµ [M]_Hlµ bÊt biÕn ®èi víi tÊt c¶ c¸c ph©n ®o¹n cña ®−êng

cong spline bËc 3. C¸c thay ®æi chØ xuÊt hiÖn trong ma trËn h×nh häc [G]_H,

vµ kh¸c nhau trong tõng ph©n ®o¹n. Trong ma trËn [G]_Hc¸c vÐc t¬ ®iÓm

cuèi ®· ®−îc biÕt cho tõng ph©n ®o¹n bËc 3, nh−ng c¸c vÐc t¬ tiÕp tuyÕn

19

ph¶i ®−îc x¸c ®Þnh sao cho tÝnh liªn tôc cña ®¹o hµm bËc 2 ph¶i ®−îc b¶o

®¶m. Do ®ã t¹i mçi ®iÓm P_icña ph©n ®o¹n c¸c gi¸ trÞ ph¶i ®−îc lùa chän sao

cho ®¹o hµm bËc 2 t¹i ®iÓm cuèi cña 1 ph©n ®o¹n trïng víi ®¹o hµm bËc 2

cña ®iÓm b¾t ®Çu cña ph©n ®o¹n kÕ tiÕp. BiÓu diÔn to¸n häc cña nã nh− sau:

P’’_i-1(1) = P’’_i(0)

(2.9)

§èi víi ®a thøc bËc 3:

P_i(t) = a_3it³+ a_2it²+ a_1it¹+ a_0i

®¹o hµm bËc 2 lµ:

P’’_i(t) = 6a_3it + 2a_2i

(2.10)

(2.11)

Thay biÓu thøc (2.11) vµo (2.9) víi c¸c gi¸ trÞ tham sè t−¬ng øng, ta cã:

6a_3(i-1)+ 2a_2(i-1)= 2a_2i(2.12)

C¸c gi¸ trÞ a₂vµ a₃®−îc tÝnh trong phÐp néi suy Hermite ®−îc thay

vµo (2.12), céng víi tÝnh liªn tôc vÞ trÝ C⁰, biÕn ®æi ta ®−îc:

P’_i-1+ 4P’_i+ P’_i+1= 3(P_i+1- P_i-1)

(2.13)

víi l−u ý ë ®©y P_ivµ P’_i®· ®−îc biÓu diÔn thay thÕ cho P_i(0) vµ P’_i(0) nh»m

®¬n gi¶n ho¸ c¸ch viÕt.

Sö dông lÆp l¹i nhiÒu lÇn ph−¬ng tr×nh (2.13) cho tÊt c¶ c¸c ph©n ®o¹n

cña spline bËc 3 cho phÐp tÝnh ®−îc tÊt c¶ c¸c vÐc t¬ tiÕp tuyÕn trong. Gi¶ sö

®−êng cong spline bËc 3 cã n-1 ph©n ®o¹n, tõ P₀®Õn P_n-1, néi suy n ®iÓm.

Trong tr−êng hîp nµy cã n-2 ®iÓm nèi bªn trong, dÉn ®Õn n-2 ph−¬ng tr×nh

(2.13). V× cÇn n vÐc t¬ tiÕp tuyÕn nªn cÇn ph¶i cã c¸c ®iÒu kiÖn rµng buéc

cho ®−êng spline bËc ba. Hai ®iÒu kiÖn rµng buéc th−êng sö dông lµ:

1. BiÕt c¸c vÐc t¬ tiÕp tuyÕn P’₀vµ P’_n-1t¹i c¸c ®iÓm cuèi.

20

2. §¹o hµm bËc 2 t¹i 2 ®iÓm cuèi P₀vµ P_n-1®Òu b»ng 0. §©y gäi lµ ®−êng

cong spline bËc 3 tù nhiªn.

Tr−êng hîp 1: Sö dông ®Ö quy ph−¬ng tr×nh (2.13) cho tÊt c¶ c¸c

ph©n ®o¹n ®−êng spline vµ c¸c vÐc t¬ tiÕp tuyÕn ®· biÕt t¹i 2 ®iÓm cuèi cña

®−êng cong bËc 3, ta cã thÓ biÓu diÔn ë d¹ng ma trËn nh− sau:

′

P

1 0

.

P

⎡

⎢

⎤⎡

⎤

⎥

⎡

⎢

⎤

⎥

0

⎢

⎥

′

1 4 1 0

P

3(P − P )

1

2

0

⎥⎢

0 1 4 1 0 .

.

′

.

=

(2.14)

⎢

⎥

.

⎥

⎥⎢

3(P_n−1− P )

0 1 4 1

n−3

⎢

⎥

′

P

.

0 0 1

⎥

⎢

⎣

⎢

⎣

⎥

⎦

⎢

⎣

⎥

⎦

n−1

Gi¶i ph−¬ng tr×nh ma trËn nµy sÏ tÝnh ®−îc tÊt c¶ c¸c vÐc t¬ tiÕp

tuyÕn:

−1

′

P

1 0

.

⎡

⎢

⎤

⎥

⎡

⎢

⎤

⎥

⎡

⎢

⎤

⎥

0

′

P

3(P − P )

1 4 1 0

1

2

0

⎥ ⎢

.

′

0 1 4 1 0 .

.

=

(2.15)

.

⎢

⎥

0 1 4 1

3(P_n−1− P )

n−3

⎥

′

P

.

0 0 1

⎢

⎣

⎥

⎢

⎣

⎥

⎦

⎢

⎣

⎥

⎦

n−1

⎦

n−1

hoÆc:

-1

[P’_i] = [M]_S[G]_S

(2.16)

Chó ý r»ng ë ®©y ma trËn [M]_Slµ ma trËn 3 ®−êng chÐo. Do ®ã dÔ

dµng tÝnh phÐp nghÞch ®¶o cña ma trËn nµy. HÖ n ph−¬ng tr×nh víi n Èn sè

nµy cã thÓ gi¶i b»ng phÐp khö Gauss, hoÆc dïng c¸c phÇn mÒm th«ng dông

®Ó gi¶i.

Tr−êng hîp 2: Ph−¬ng tr×nh (2.14) ®−îc sö dông lÇn n÷a vµ ®¹o hµm

bËc 2 ®−îc g¸n b»ng 0 t¹i 2 ®iÓm ®Çu vµ cuèi cña ®−êng cong spline bËc 3.

21

T¹i ®iÓm ®Çu tiªn, P₀(tham sè t=0), ®¹o hµm bËc 2 theo ph−¬ng tr×nh (2.11)

trë thµnh a_2i=0.

Thay gi¸ trÞ a_2ivµo ph−¬ng tr×nh trong ®−êng cong Hermite, ta cã:

2P₀’ + P₁’ = 3(P₁-P₀)

(2.17)

G¸n gi¸ trÞ cña ®¹o hµm bËc 2 t¹i ®iÓm cuèi P_n-1(tham sè t=1) =0, sau

®ã thay vµo ph−¬ng tr×nh (2.11), rót gän cuèi cïng ta ®−îc:

P’_n-2+ 2P’_n-1= 3(P_n-1-P_n-2)

(2.18)

HÖ n ph−¬ng tr×nh víi n Èn sè ®−îc biÓu diÔn ë d¹ng ma trËn nh− sau:

′

2 1 . . . .

1 4 1 0 . .

0 1 4 1 0 .

. . . . . .

. . 0 1 4 1

P

3(P − P )

⎡

⎢

⎤ ⎡

⎥ ⎢

⎤

⎥

⎡

⎢

⎤

⎥

0

1

0

′

P

3(P − P )

1

2

0

.

′

3(P − P )

3

1

=

⎥ ⎢

(2.19)

.

⎥ ⎢

3(P − P )

n−1

n−3

. . . 0 1 2 P

3(P − P )

⎢

⎣

⎥

⎢

_n−1⎥ ⎢

⎥

⎦

n−1

n−2

⎣

⎦ ⎣

Khi c¸c gi¸ trÞ P’_i®· t×m ®−îc b»ng tr−êng hîp 1 hoÆc 2 th× c¸c ®iÓm

trªn ®−êng cong spline bËc 3 sÏ t×m ®−îc b»ng ph−¬ng tr×nh (2.8).

2.2.1.2- C¸c phÐp xÊp xØ.

C¸c ph−¬ng ph¸p to¸n häc dïng ®Ó biÓu diÔn c¸c ®−êng cong trong

CAD vµ c¸c phÇn mÒm ph¸t triÓn trªn nÒn CAD dùa trªn lý thuyÕt néi suy

hoÆc xÊp xØ. NÕu lµ bµi to¸n thiÕt kÕ ®−êng cong ®i qua tËp hîp c¸c d÷ liÖu

®iÓm, th× cã thÓ sö dông c¸c phÐp néi suy cæ ®iÓn ®· ®−îc m« t¶ ë trªn. Tuy

nhiªn trong thùc tÕ kÜ thuËt cã nhiÒu bµi to¸n kh«ng thÓ sö dông ®−îc

d¹ng tù do, mµ kh«ng thÓ biÓu diÔn b»ng c¸c mÆt cong gi¶i tÝch nh− mÆt

22

ph¼ng, mÆt trô,... ThiÕt kÕ c¸c ®−êng cong vµ mÆt cong cã h×nh d¹ng tù do

lµ phÇn quan träng bËc nhÊt trong c¸c bµi to¸n thiÕt kÕ kü thuËt.

Theo ph−¬ng ph¸p truyÒn thèng, c¸c bµi to¸n thiÕt kÕ nµy ®−îc thùc

hiÖn b»ng c¸c ph−¬ng ph¸p h×nh häc ho¹ h×nh. VÝ dô c¸c mÆt cong ®−îc

nµy c¸c m« h×nh chÝnh ®−îc t¹o ra, vµ tõ ®ã chÕ t¹o ra khu«n dËp.

Sù xuÊt hiÖn m¸y tÝnh ®· thay ®æi hoµn toµn qu¸ tr×nh nµy. M« h×nh

m¸y tÝnh ®−îc t¹o ra b»ng qu¸ tr×nh sè ho¸ c¸c ®−êng vµ mÆt cong ®Þnh s½n,

tõ ®ã ph¸t ra c¸c chØ thÞ ®iÒu khiÓn m¸y gia c«ng. Nh− vËy m« h×nh vµ b¶n

vÏ chÝnh ®· ®−îc thay b»ng c¸c m« h×nh m¸y tÝnh cã d¹ng c¸c mÆt cong tù

do.

Trong CAD, ®Æc biÖt lµ trong c¸c bµi to¸n thiÕt kÕ m« t¶ ë trªn, tiªu

chuÈn quan träng nhÊt lµ ®é tr¬n cña ®−êng cong hoÆc mÆt cong. Cã nghÜa

néi suy. Mét ®iÒu quan träng n÷a lµ bÊt kú thay ®æi nµo khi thiÕt kÕ ®Òu chØ

lµ côc bé, do ®ã c¸c chØnh söa trong 1 vïng quy ®Þnh kh«ng ¶nh h−ëng ®Õn

h×nh d¸ng tæng thÓ cña ®−êng cong hoÆc mÆt cong. Do vËy c¸c ph−¬ng ph¸p

xÊp xØ ®−îc thiÕt kÕ ®Ó tho¶ m·n phÇn nµo c¸c yªu cÇu nµy. Ph−¬ng ph¸p

biÓu diÔn ®−êng cong xÊp xØ t¹o ra ®−êng cong tr¬n xÊp xØ c¸c ®iÓm cho s½n,

chø kh«ng ®i qua chÝnh x¸c tÊt c¶ c¸c ®iÓm ®ã. Hai ph−¬ng ph¸p xÊp xØ

th«ng dông nhÊt trong c¸c hÖ thèng CAD hiÖn nay lµ Bezier vµ B-spline

a_ §−êng cong Bezier.

§−êng cong Bezier cã c¸c ®iÓm tùa hoÆc ®Ønh tùa lµ 1 tËp hîp theo

thø tù c¸c ®iÓm (V₀,... V_n), dùa vµo ®ã ®Ó xÊp xØ ®−êng cong (h×nh 2.4). C¸c

®iÓm nµy cã thÓ ®−îc biÓu diÔn trªn mµn h×nh ®å ho¹, vµ cho phÐp ng−êi sö

23

dông ®iÒu khiÓn h×nh d¹ng ®−êng cong. §−êng cong Bezier dùa trªn c¸c

hµm ®a thøc, th−êng dïng ®Ó biÓu diÔn c¸c ®−êng cong h×nh d¹ng tù do.

V

2

V

3

1

V

4

V

0

H×nh 2.4. §−êng cong xÊp xØ c¸c ®iÓm tùa chø kh«ng ®i qua chÝnh x¸c c¸c

®iÓm nµy.

§−êng cong Bezier bËc n ®−îc x¸c ®Þnh bëi n+1 ®iÓm ®iÒu khiÓn, lµ

ph−¬ng tr×nh tham sè cã d¹ng sau:

n

Q(t) = V B (t)

(2.20)

∑

i

i,n

i=0

trong ®ã vÐc t¬ V_ibiÓu diÔn n+1 ®iÓm ®iÒu khiÓn.

hµm B_i,n(t) lµ hµm liªn kÕt tr¬n cña ®−êng cong Bezier, vµ ®−îc m« t¶

b»ng ®a thøc Bernstein nh− sau:

B_i,n(t) = ( _i)(t)ⁱ(1- t)^n-i

0 ≤ t ≤ 1

(2.21)

(2.22)

n

trong ®ã n lµ bËc cña ®a thøc vµ:

n

⎛ ⎞

n!

⎜ ⎟

=

i=0,...n

i

i!(n − i)!

⎝ ⎠

lµ hÖ sè nhÞ thøc.

C¸c hµm liªn kÕt tr¬n nµy tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau:

B_i,n(t) >= 0, víi mäi i,

0 ≤ t ≤ 1

24

n

B (t) = 1,

0 ≤ t ≤ 1

.

(2.23)

∑

i,n

i=0

Ph−¬ng tr×nh nµy ®−îc gäi lµ "tÝnh chÊt chuÈn ho¸". C¸c ®iÒu kiÖn

nµy Ðp buéc ®−êng cong n»m hoµn toµn trong 1 ®a gi¸c låi giíi h¹n b»ng

c¸c ®Ønh cña ®a gi¸c ®−îc t¹o bëi c¸c ®iÓm ®iÒu khiÓn, gäi lµ bao låi (h×nh

2.5).

C¸c hµm liªn kÕt tr¬n Bezier B_i,n(t) t¹o ra 1 ®a thøc bËc n cho n+1

®iÓm ®iÒu khiÓn, vµ nãi chung Ðp buéc ®−êng cong Bezier ®i qua c¸c ®iÓm

®iÒu khiÓn ®Çu vµ cuèi (V₀, V_n) (h×nh 2.5).

C¸c ®iÓm ®iÒu khiÓn trung gian ®iÒu chØnh ®−êng cong ®Õn h×nh d¹ng

mong muèn. H×nh 2.6 chØ ra sù ¶nh h−ëng ®Õn h×nh d¹ng ®−êng cong Bezier

khi di chuyÓn c¸c ®iÓm tùa

V

5

V

6

V

4

V

1

7

V

2

V

0

V

H×nh 2.5. §−êng cong Bezier ®i qua c¸c ®iÓm tùa ®Çu, cuèi vµ tho¶ m·n tÝnh bao låi

3

V'

3

'

V

2

V

3

'

V

3

V

1

V

4

V

0

H×nh 2.6. Thay ®æi vÞ trÝ ®iÓm tùa sÏ lµm thay ®æi ®−êng cong Bezier

25

Chó ý r»ng:

t¹i t=0, Q(0) = V₀vµ B_0,n= 1 ; B_i,n= 0 , i != 0, n

t¹i t=1, Q(1) = V_nvµ B_n,n= 1 ; B_i,n= 0 , i != 0, n

§å thÞ c¸c hµm liªn kÕt tr¬n cña ®−êng cong Bezier (B_i,n) lµ c¸c ®−êng

cong bËc n. Mçi ®iÓm ®iÒu khiÓn (V_i) cã träng sè b»ng hµm liªn kÕt tr¬n

liªn kÕt víi nã (B_i,n), vµ ¶nh h−ëng cña mçi ®iÓm ®−îc thay ®æi nh− c¸c biÕn

tham sè dao ®éng tõ 0 ®Õn 1. C¸c hµm liªn kÕt tr¬n cßn Ðp buéc ®−êng cong

Bezier tiÕp xóc víi c¸c ®−êng th¼ng nèi 2 ®iÓm ®iÒu khiÓn ®Çu tiªn vµ 2

®iÓm ®iÒu khiÓn cuèi cïng. NÕu ®iÓm ®iÒu khiÓn ®Çu tiªn vµ ®iÓm ®iÒu

khiÓn cuèi cïng trïng nhau th× ®−êng cong sÏ khÐp kÝn (h×nh 2.7).

V

3

4

V

2

V

5

V

1

V

0

V

7

6

H×nh 2.7. Khi c¸c ®iÓm tùa ®Çu vµ cuèi trïng nhau th× ®−êng cong Bezier khÐp kÝn

§Ó t¨ng c−êng tÝnh mÒm dÎo cho thiÕt kÕ ®ßi hái sè l−îng lín c¸c

®iÓm tùa, tuy nhiªn khi ®ã c¸c ®a thøc Bernstein ®−îc t¹o ra sÏ cã bËc cao

dÉn ®Õn viÖc khã qu¶n lý chóng. §Ó gi÷ cho bËc cña ®−êng cong thÊp mµ

vÉn gi÷ ®−îc sù mÒm dÎo khi thiÕt kÕ, c¸c ®−êng cong víi sè l−îng lín c¸c

*

26

th−êng ®−îc ¸p dông tÝnh liªn tôc C₀vµ C₁. §Ó tho¶ m·n ®iÒu kiÖn nµy c¸c

vµ c¸c ®iÓm ngay tr−íc vµ sau nã ph¶i th¼ng hµng. H×nh 2.8 chØ ra c¸c ®iÒu

*

kiÖn nµy, ®iÓm nèi V₄còng chÝnh lµ V₀cïng víi V₃vµ V₁n»m trªn mét

*

®−êng th¼ng.

V*

V

3

V

2

3

V*

2

V

V*

4

1

V

4

V*

0

V

0

V*

1

b_ §−êng cong B_Spline.

Nh− trong phÇn trªn ta thÊy c¸c hµm liªn kÕt tr¬n Bezier sö dông c¸c

®a thøc Bernstein phô thuéc vµo sè l−îng c¸c ®iÓm ®iÒu khiÓn. C¸c ®−êng

cong nµy cã sù ®iÒu khiÓn toµn bé, di chuyÓn mét ®iÓm tùa sÏ ¶nh h−ëng

®Õn toµn bé ®−êng cong. §Ó tr¸nh c¸c ®a thøc bËc cao vµ gi¶m sù ¶nh

khiÓn côc bé vµ cã quyÒn tù do thay ®æi bËc t¹i c¸c ®iÓm sö dông tÝnh liªn

®−êng cong phøc hîp cã nh÷ng tÝnh chÊt kh¸c. Ph−¬ng ph¸p ®−îc chän ®Ó

27

tÝnh liªn tôc C⁰. TÝnh liªn tôc bËc cao h¬n thu ®−îc chØ b»ng c¸ch buéc theo

c¸c rµng buéc h×nh häc t¹i vÞ trÝ c¸c ®Ønh (h×nh 2.8)

Cã thÓ sö dông c¸c hµm liªn kÕt tr¬n B-spline xen kÏ víi c¸c ®a thøc

Bernstein ®Ó t¹o ra ®−êng cong ®a thøc tham sè tõng khóc riªng lÎ th«ng

qua mét sè ®iÓm ®iÒu khiÓn. BËc cña ®a thøc cã thÓ ®−îc ng−êi thiÕt kÕ lùa

chän ®éc lËp víi sè l−îng c¸c ®iÓm tùa. §ã lµ bËc cña c¸c hµm liªn kÕt tr¬n

hoÆc hµm c¬ së, mµ nã ®iÒu khiÓn bËc cña ®−êng cong B-spline cuèi cïng.

C¸c ®−êng cong B-spline kÕ thõa sù ®iÒu khiÓn côc bé, nghÜa lµ khi mét

quan träng trong viÖc h¹ bËc cã thÓ chän bëi ng−êi thiÕt kÕ. §èi víi c¸c øng

dông nh− thiÕt kÕ c¸c ®−êng cong tù do trong ®ã ®é tr¬n lµ mét tiªu chuÈn

quan träng th× tÝnh liªn tôc ®é cong C²®−îc −u tiªn h¬n. §iÒu nµy ®−îc tho¶

m·n bëi ®−êng cong B-spline bËc ba.

N

1,3

2,3

N

0,3

3,3

t

i+2

i

i+1

i+3

i+4

H×nh 2.9. C¸c hµm c¬ së cña ®−êng cong B-spline ®Òu

* §−êng cong B-spline bËc 3 ®Òu

Tr−íc tiªn ta nghiªn cøu mét lo¹i B-spline ®Æc biÖt vµ ®¬n gi¶n gäi lµ

B-spline ®Òu.

B-spline tham sè bËc ba ®Òu , N_i(t) lµ mét hµm c¬ së C²bËc ba, nh−

trªn h×nh 2.9. C¸c kho¶ng tham sè hoÆc c¸c nót (knot) t, mµ t¹i ®ã hµm c¬

28

së ®−îc ®Þnh nghÜa, cã gi¸ trÞ b»ng nhau. ChÝnh v× vËy mµ ®−êng cong B-

spline nµy ®−îc gäi lµ ®Òu.

C¸c nót t¹o thµnh vector c¸c sè thùc gäi lµ vector nót, theo thø tù

kh«ng gi¶m. Hµm sè ®−îc ®Æt vµo gi÷a t¹i vÞ trÝ t_i+2vµ cã gi¸ trÞ b»ng 0 víi

t<t_ivµ víi t>t_i+4(h×nh 2.9) . C¸c ®o¹n kh¸c 0 cña hµm sè ®−îc t¹o tõ 4 ®a

thøc bËc 3 : N_0,3, N_1,3, N_2,3, N_3,3. §−êng cong B-spline thu ®−îc b»ng c¸ch

P_i(t) = N_0,3(t)V_i+ N_1,3(t)V_i+1+ N_2,3(t)V_i+2+ N_3,3(t)V_i+3. (2.24)

H×nh 2.10 chØ ra ®−êng cong B-spline bËc 3 ®Òu cã 6 ®Ønh ®iÒu khiÓn.

Trong ph−¬ng tr×nh (2.24) c¸c ®Ønh ®iÒu khiÓn lµ ch÷ V

V

3

V

1

V

5

V

0

V

2

V

4

H×nh 2.10. §−êng cong B-spline bËc 3 ®Òu cã 6 ®Ønh ®iÒu khiÓn

* §−êng cong B - spline.

D−íi d¹ng tæng qu¸t, c¸c ®−êng cong B- spline cã thÓ biÓu diÔn b»ng

c¸c hµm liªn kÕt tr¬n cña chóng, nh− ®· thùc hiÖn ë ®−êng cong Bezier:

n

P =

(t)

N (t).V

i

(2.25)

∑

i,k

i=0

trong ®ã

29

Báo cáo Nghiên cứu thiết kế, chế tạo các robot thông minh phục vụ cho các ứng dụng quan trọng - Nhóm sản phẩm robot RE